Utspädning av precision (navigering)

Utspädning av precision ( DOP ), eller geometrisk utspädning av precision ( GDOP ), är en term som används inom satellitnavigering och geomatikteknik för att specificera felutbredningen som en matematisk effekt av navigeringssatellitgeometri på positionsmätningsprecision.

Förstå den geometriska utspädningen av precision (GDOP) med ett enkelt exempel. I A har någon mätt avståndet till två landmärken och ritat deras punkt som skärningspunkten mellan två cirklar med den uppmätta radien. I B har mätningen vissa felgränser, och deras verkliga plats kommer att ligga var som helst i det gröna området. I C är mätfelet detsamma, men felet på deras position har ökat avsevärt på grund av placeringen av landmärkena.

Navigationssatelliter med dålig geometri för geometrisk utspädning av precision (GDOP).

Navigationssatelliter med bra geometri för geometrisk utspädning av precision (GDOP).

Introduktion

Konceptet med utspädning av precision (DOP) har sitt ursprung hos användare av Loran-C navigationssystem . Tanken med geometrisk DOP är att ange hur fel i mätningen kommer att påverka den slutliga tillståndsuppskattningen. Detta kan definieras som:

\operatörsnamn {GDOP} ={\frac {\Delta ({\text{utdataplats}})}{\Delta ({\text{mätta data}} )}}

Begreppsmässigt kan du geometriskt föreställa dig fel på en mätning som resulterar i att termen ${\displaystyle \Delta ({\text{mätdata}})} ändras.$ Helst kommer små förändringar i mätdata inte att resultera i stora förändringar i utdataplatsen. Motsatsen till detta ideal är situationen där lösningen är mycket känslig för mätfel. Tolkningen av denna formel visas i figuren till höger och visar två möjliga scenarier med acceptabel och dålig GDOP.

På senare tid har termen kommit till mycket bredare användning med utvecklingen och antagandet av GPS. Om man bortser från jonosfäriska och troposfäriska effekter har signalen från navigationssatelliter en fast precision. Därför spelar den relativa satellit-mottagargeometrin en stor roll vid bestämning av precisionen för uppskattade positioner och tider. På grund av den relativa geometrin hos en given satellit till en mottagare, översätts precisionen i pseudoområde till en motsvarande komponent i var och en av de fyra positionsdimensionerna som mäts av mottagaren (dvs ${\displaystyle x} ,$ $y$ , $z$ och $t$ ). Precisionen för flera satelliter med tanke på en mottagare kombineras enligt satelliternas relativa position för att bestämma precisionsnivån i varje dimension av mottagarmätningen. När synliga navigationssatelliter är nära varandra på himlen sägs geometrin vara svag och DOP-värdet är högt; när det är långt ifrån varandra är geometrin stark och DOP-värdet lågt. Betrakta två överlappande ringar, eller ringar , med olika centrum. Om de överlappar i räta vinklar är den största omfattningen av överlappningen mycket mindre än om de överlappar nästan parallellt. Ett lågt DOP-värde representerar således en bättre positionsprecision på grund av den bredare vinkelseparationen mellan satelliterna som används för att beräkna en enhets position. Andra faktorer som kan öka den effektiva DOP är hinder som närliggande berg eller byggnader.

DOP kan uttryckas som ett antal separata mätningar:

HDOP: Horisontell utspädning av precision
VDOP: Vertikal utspädning av precision
PDOP: Position (3D) utspädning av precision
TDOP: Tidsutspädning av precision
GDOP: Geometrisk utspädning av precision

Dessa värden följer matematiskt från positionerna för de användbara satelliterna. Signalmottagare tillåter visning av dessa positioner ( skyplot ) samt DOP-värden.

Termen kan också tillämpas på andra lokaliseringssystem som använder flera geografiskt åtskilda platser. Det kan förekomma i elektroniska motåtgärder ( elektronisk krigföring ) vid beräkning av platsen för fiendens sändare ( radarstörare och radiokommunikationsenheter). Att använda en sådan interferometriteknik kan ge en viss geometrisk layout där det finns frihetsgrader som inte kan förklaras på grund av otillräckliga konfigurationer.

Effekten av satelliternas geometri på positionsfel kallas geometrisk utspädning av precision (GDOP) och den tolkas grovt som förhållandet mellan positionsfel och avståndsfel. Föreställ dig att en fyrkantig pyramid bildas av linjer som förenar fyra satelliter med mottagaren i spetsen av pyramiden. Ju större volym pyramiden är, desto bättre (lägre) värdet på GDOP; ju mindre volymen är, desto sämre (högre) blir värdet på GDOP. På samma sätt, ju fler satelliter, desto bättre är GDOP-värdet.

Tolkning

DOP-värde	Betyg	Beskrivning
<1	Idealisk	Högsta möjliga konfidensnivå som ska användas för applikationer som kräver högsta möjliga precision hela tiden.
1–2	Excellent	På denna konfidensnivå anses positionsmätningar vara tillräckligt noggranna för att uppfylla alla utom de mest känsliga tillämpningarna.
2–5	Bra	Representerar en nivå som markerar det lägsta som är lämpligt för att fatta korrekta beslut. Positionsmätningar skulle kunna användas för att ge användaren tillförlitliga navigeringsförslag på vägen.
5–10	Måttlig	Positionsmätningar kan användas för beräkningar, men fixeringskvaliteten kan fortfarande förbättras. En mer öppen vy över himlen rekommenderas.
10–20	Rättvis	Representerar en låg konfidensnivå. Positionsmätningar bör kasseras eller endast användas för att indikera en mycket grov uppskattning av den aktuella platsen.
>20	Fattig	På denna nivå bör mätningar kasseras.

DOP-faktorerna är funktioner av de diagonala elementen i parametrarnas kovariansmatris , uttryckta antingen i en global eller en lokal geodetisk ram.

Beräkning

Som ett första steg i att beräkna DOP, betrakta enhetsvektorerna från mottagaren till satellit i:

_ \displaystyle {\begin{aligned}&\left({\frac {x_{i}-x}{R_{i}}},{\frac {y_{i}-y}{R_{i}}}, {\frac {z_{i}-z}{R_{i}}}\right),&R_{i}&={\sqrt {(x_{i}-x)^{2}+(y_{i} -y)^{2}+(z_{i}-z)^{2}}}\end{aligned}}}

där $x,y,z$ anger mottagarens position och $x_{i},y_{i},z_{i}$ anger position för satellit i. Formulera matrisen, A, som (för 4 restekvationer för pseudoavståndsmätning) är:

A={\begin{bmatrix}{\frac {x_{1}- x}{R_{1}}}&{\frac {y_{1}-y}{R_{1}}}&{\frac {z_{1}-z}{R_{1}}}&1\\ {\frac {x_{2}-x}{R_{2}}}&{\frac {y_{2}-y}{R_{2}}}&{\frac {z_{2}-z}{ R_{2}}}&1\\{\frac {x_{3}-x}{R_{3}}}&{\frac {y_{3}-y}{R_{3}}}&{\frac {z_{3}-z}{R_{3}}}&1\\{\frac {x_{4}-x}{R_{4}}}&{\frac {y_{4}-y}{R_ {4}}}&{\frac {z_{4}-z}{R_{4}}}&1\end{bmatrix}}

De tre första elementen i varje rad av A är komponenterna i en enhetsvektor från mottagaren till den indikerade satelliten. Det sista elementet i varje rad hänvisar till den partiella derivatan av pseudorange wrt-mottagarens klockförspänning. Formulera matrisen, Q , som kovariansmatrisen som resulterar från normalmatrisen med minsta kvadrater :

Q=\left(A^{\mathsf {T}}A\right)^{-1}

I allmänhet: ${\displaystyle Q=(J_{\mathsf {x}}^{\mathsf {T}}(J_{ d}C_{d}J_{d}^{\mathsf {T}})^{-1}J_{x})^{-1}} där J x {\displaystyle J_{x$ } $Jacobian$ av sensormätningens restekvationer ${\displaystyle f_{i}({\underline {x}},{\underline {d}})=0} ,$ med avseende på de okända, ${\underline {x}}$ ; $J_{d}$ är Jacobian för sensormätningens restekvationer med avseende på de uppmätta storheterna ${\underline {d}}$ och $C_{d}$ är korrelationsmatrisen för brus i de uppmätta storheterna. För det föregående fallet med 4 restekvationer för intervallmätning: ${\underline {x}}=(x,y,z,\tau )^{\mathsf { T}}$ , ${\underline {d}}=(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{4})^{\mathsf {T}}$ , $\tau =ct$ , $\tau _{i} =ct_{i$ $R_{i}=|\tau _{i}-\tau |={\sqrt {(\tau _{i}-\tau )^{2}}}$ , , ${\displaystyle f_{i}( {\underline {x}},{\underline {d}})={\sqrt {(x_{i}-x)^{2}+(y_{i}-y)^{2}+(z_{ i}-z)^{2}}}-{\sqrt {(\tau _{i}-\tau )^{2}}}} ,$ J $\displaystyle J_{x}=A}$ , $J_{d}=-I$ och mätbruset för de olika $\tau _{i}$ har antagits vara oberoende vilket gör att $C_{d}=I$ . Denna formel för Q uppstår genom att tillämpa bästa linjära opartiska uppskattning på en linjäriserad version av sensormätningens restekvationer om den aktuella lösningen $\Delta {\underline {x}}=-Q*(J_{x}^{\mathsf {T}}(J_{d}C_{d}J_{d}^{\mathsf {T}}) ^{-1}f)$ , förutom i fallet med BLUE $C_{d}$ är en bruskovariansmatris snarare än bruskorrelationsmatrisen som används i DOP, och anledningen till att DOP gör denna substitution är för att erhålla ett relativt fel. När $C_{d}$ är en bruskovariansmatris, är ${\displaystyle Q} en$ av matrisen av kovarians av brus i de okända på grund av bruset i de uppmätta storheterna. Det är den uppskattning som erhölls med den första ordningens andra moment (FOSM) osäkerhetskvantifieringstekniken som var toppmodern på 1980-talet. För att FOSM-teorin ska vara strikt tillämplig måste antingen ingångsbrusfördelningarna vara Gaussiska eller så måste mätbrusstandardavvikelserna vara små i förhållande till förändringshastigheten i utsignalen nära lösningen. I detta sammanhang är det andra kriteriet vanligtvis det som är uppfyllt.

Denna (dvs. för de 4 restekvationerna för ankomsttid/avståndsmätning) beräkning är i enlighet med [6] där viktningsmatrisen, $P=(J_{d }C_{d}J_{d}^{\mathsf {T}})^{-1}$ råkar förenkla ner till identitetsmatrisen.

Observera att P endast förenklas ner till identitetsmatrisen eftersom alla restekvationer för sensormätning är ekvationer för ankomsttid (pseudointervall). I andra fall, till exempel när man försöker hitta någon som sänder på en internationell nödfrekvens , skulle $P$ inte förenkla ner till identitetsmatrisen och i så fall skulle det finnas en "frekvens-DOP"- eller FDOP-komponent antingen i tillägg till eller i stället för TDOP-komponenten. (Angående "i stället för TDOP-komponenten": Eftersom klockorna på det äldre internationella Cospas-Sarsat-programmet LEO-satelliter är mycket mindre exakta än GPS-klockor, skulle det faktiskt öka noggrannheten i geolokaliseringslösningen om man kasserade deras tidsmätningar.)

Elementen i $Q$ betecknas som:

Q={\begin{bmatrix}\sigma _{x}^{2}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}&\sigma _{xt}\\\sigma _{ xy}&\sigma _{y}^{2}&\sigma _{yz}&\sigma _{yt}\\\sigma _{xz}&\sigma _{yz}&\sigma _{z}^ {2}&\sigma _{zt}\\\sigma _{xt}&\sigma _{yt}&\sigma _{zt}&\sigma _{t}^{2}\end{bmatrix}}

PDOP, TDOP och GDOP ges av:

{\begin{aligned}\operatörsnamn {PDOP} &={\sqrt {\sigma _{x }^{2}+\sigma _{y}^{2}+\sigma _{z}^{2}}}\\\operatörsnamn {TDOP} &={\sqrt {\sigma _{t}^{ 2}}}\\\operatörsnamn {GDOP} &={\sqrt {\operatörsnamn {PDOP} ^{2}+\operatörsnamn {TDOP} ^{2}}}\\\end{aligned}}

Observera att GDOP är kvadratroten av spåret av $Q$ -matrisen.

Den horisontella och vertikala utspädningen av precision,

{\begin{aligned}\operatörsnamn {HDOP} &={\sqrt {\sigma _{n}^{2}+\sigma _{e }^{2}}}\\\operatörsnamn {VDOP} &={\sqrt {\sigma _{u}^{2}}}\end{aligned}}

,

är båda beroende av vilket koordinatsystem som används. För att motsvara det lokala horisontplanet och den lokala vertikalen i antingen ett nord-, öst-, upp-koordinatsystem.

EDOP^2 xxx x NDOP^2 xx xx VDOP^2 x xxx TDOP^2

härledda DOP:er:

{\begin{aligned}\operatörsnamn {GDOP} &={\sqrt { \operatörsnamn {EDOP} ^{2}+\operatörsnamn {NDOP} ^{2}+\operatörsnamn {VDOP} ^{2}+\operatörsnamn {TDOP} ^{2}}}\\\operatörsnamn {HDOP} &= {\sqrt {\operatörsnamn {EDOP} ^{2}+\operatörsnamn {NDOP} ^{2}}}\\\operatörsnamn {PDOP} &={\sqrt {\operatörsnamn {EDOP} ^{2}+\operatörsnamn {NDOP} ^{2}+\operatörsnamn {VDOP} ^{2}}}\end{aligned}}

Se även

Vidare läsning

Artikel om DOP och Trimbles program: Determining Local GPS Satellite Geometry Effects On Position Accuracy .
Anteckningar & GIF -bild om manuell beräkning av GDOP: Geographer's Craft
GPS-fel och uppskattning av din mottagares noggrannhet: Sam Wormleys webbsida för GPS-noggrannhet
GPS-noggrannhet, fel och precision: Radio-Electronics.com