Courant–Friedrichs–Lewy skick

Inom matematik är konvergensvillkoret av Courant–Friedrichs–Lewy ett nödvändigt villkor för konvergens samtidigt som vissa partiella differentialekvationer (vanligtvis hyperboliska PDE ) löses numeriskt. Det uppstår i den numeriska analysen av explicita tidsintegrationsscheman , när dessa används för den numeriska lösningen. Som en konsekvens måste tidssteget vara mindre än en viss tid i många explicita tidsmarschdatorsimuleringar , annars ger simuleringen felaktiga resultat . Tillståndet är uppkallat efter Richard Courant , Kurt Friedrichs och Hans Lewy som beskrev det i sin tidning från 1928.

Heuristisk beskrivning

Principen bakom villkoret är att, till exempel, om en våg rör sig över ett diskret rumsligt rutnät och vi vill beräkna dess amplitud vid diskreta tidssteg av samma varaktighet, så måste denna varaktighet vara mindre än tiden för vågen att färdas till intilliggande rutnätspunkter. Som en följd av detta, när rutnätspunktseparationen minskas, minskar också den övre gränsen för tidssteget. I huvudsak måste den numeriska beroendedomänen för någon punkt i rum och tid (som bestäms av initiala villkor och parametrarna för approximationsschemat) inkludera den analytiska beroendedomänen (där de initiala förhållandena har en effekt på det exakta värdet av lösning vid den tidpunkten) för att säkerställa att systemet kan komma åt den information som krävs för att skapa lösningen.

Påstående

För att göra en någorlunda formellt exakt redogörelse för villkoret är det nödvändigt att definiera följande kvantiteter:

• Spatial coordinate : en av koordinaterna för det fysiska utrymme där problemet uppstår
• Problemets rumsliga dimension : antalet $n$ av rumsliga dimensioner , dvs antalet rumsliga koordinater för det fysiska utrymmet där problemet uppstår. Typiska värden är $n=1$ , $n=2$ och $n=3$ .
• Tid : koordinaten , som fungerar som en parameter , som beskriver systemets utveckling, skild från de rumsliga koordinaterna

De rumsliga koordinaterna och tiden är diskret-värderade oberoende variabler , som placeras på regelbundna avstånd som kallas intervalllängden respektive tidssteget . Genom att använda dessa namn relaterar CFL-villkoret längden på tidssteget till en funktion av intervalllängderna för varje rumslig koordinat och av den maximala hastighet som information kan färdas i det fysiska rummet.

Operativt är CFL-villkoret vanligtvis föreskrivet för de termer för approximationen av ändlig differens för allmänna partiella differentialekvationer som modellerar advektionsfenomenet .

Det endimensionella fallet

är den kontinuerliga tidsmodellekvationen (som vanligtvis löses för ${\displaystyle w} ) :$

${\frac {\partial w}{\partial t}}=u{\frac {\partial w}{\partial x}}.$

CFL-villkoret har då följande form:

$C={\frac {u\,\Delta t}{\Delta x}}\leq C_{\max }$

där det dimensionslösa talet $C$ kallas Courant-numret ,

• $u$ är storleken på hastigheten (vars dimension är längd/tid)
• $\Delta t$ är tidssteget (vars dimension är tid)
• $\Delta x$ är längdintervallet (vars dimension är längd).

Värdet på $C_{\max }$ ändras med metoden som används för att lösa den diskretiserade ekvationen, särskilt beroende på om metoden är explicit eller implicit . Om en explicit (tidsmarsch) lösare används är vanligtvis $C_{\max }=1$ . Implicita (matris) lösare är vanligtvis mindre känsliga för numerisk instabilitet och därför kan större värden på $C_{\max }$ tolereras.

Det två och allmänna n -dimensionella fallet

I det tvådimensionella fallet blir CFL-tillståndet

$C={\frac {u_{x}\,\Delta t}{\Delta x}}+{\frac {u_{ y}\,\Delta t}{\Delta y}}\leq C_{\max }$

med de inblandade symbolernas uppenbara betydelser. I analogi med det tvådimensionella fallet är det allmänna CFL-villkoret för det $n$ -dimensionella fallet följande:

$C=\Delta t\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {u_{x_{i}}}{\Delta x_{i}}}\right)\leq C_ {\max }.$

Intervalllängden behöver inte vara densamma för varje rumslig variabel $\Delta x_{i},i=1,\ldots ,n$ . Denna " frihetsgrad " kan användas för att något optimera värdet av tidssteget för ett visst problem, genom att variera värdena för de olika intervallen för att hålla det inte för litet.

Anteckningar

•     Courant, R. ; Friedrichs, K .; Lewy, H. (1928), "Über die partiellen Differenzengleichungen der mathematischen Physik" , Mathematische Annalen (på tyska), 100 (1): 32–74, Bibcode : 1928MatAn.100...32C , doi : 10.1007/BF8301 , 4839 JFM 54.0486.01 , MR 1512478 , S2CID 120760331 .
• Courant, R. ; Friedrichs, K .; Lewy, H. (september 1956) [1928], On the partial difference equations of matematisk fysik , AEC Research and Development Report, vol. NYO-7689, New York: AEC Computing and Applied Mathematics Center – Courant Institute of Mathematical Sciences , s. V + 76, arkiverad från originalet den 23 oktober 2008 .: översatt från tyska av Phyllis Fox. Detta är en tidigare version av tidningen Courant, Friedrichs & Lewy 1967, cirkulerad som en forskningsrapport.
•    Courant, R. ; Friedrichs, K .; Lewy, H. (mars 1967) [1928], "On the partial difference equations of matematical physics" , IBM Journal of Research and Development , 11 (2): 215–234, Bibcode : 1967IBMJ...11..215C , doi : 10.1147/rd.112.0215 , MR 0213764 , Zbl 0145.40402 . Ett fritt nedladdningsbart exemplar finns här .

• Carlos A. de Moura och Carlos S. Kubrusly (Eds.): "The Courant-Friedrichs-Lewy (CFL) Condition: 80 Years After Its Discovery", Birkhauser, ISBN 978-0-8176-8393-1 (2013).

externa länkar

• Bakhvalov, NS (2001) [1994], "Courant–Friedrichs–Lewys tillstånd" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Weisstein, Eric W. "Courant-Friedrichs-Lewys tillstånd" . MathWorld .