Collagesats

I matematik kännetecknar collagesatsen ett itererat funktionssystem vars atttraktor är nära, i förhållande till Hausdorff-metriken , en given uppsättning. Den beskrivna IFS är sammansatt av sammandragningar vars bilder, som ett kollage eller förening vid kartläggning av den givna uppsättningen, är godtyckligt nära den givna uppsättningen. Det används vanligtvis vid fraktal komprimering .

Påstående

Låt $\mathbb {X}$ vara ett komplett metriskt utrymme . Antag att $L$ är en icke-tom, kompakt delmängd av $\mathbb {X}$ och låt $\epsilon >0$ ges. Välj ett itererat funktionssystem (IFS) $\{\mathbb {X} ;w_{1},w_{2},\dots ,w_{N}\}$ med kontraktivitetsfaktor $s,$ där $0\leq s<1$ (kontraktivitetsfaktorn $s$ för IFS är maximum av kontraktivitetsfaktorerna för kartorna $w_{i}$ ). Anta

$h\left(L,\bigcup _{n=1}^{N}w_{n}(L)\right)\ leq \varepsilon ,$

där $h(\cdot ,\cdot )$ är Hausdorff-måttet . Sedan

$h(L,A)\leq {\frac {\varepsilon }{1-s}}$

där A är IFS:s attraktionskraft. På motsvarande sätt,

${\displaystyle h(L,A)\leq (1-s)^{-1} h\left(L,\cup _{n=1}^{N}w_{n}(L)\right)\quad } , för alla icke-tomma, kompakta delmängder L av X {\displaystyle \mathbb {$ X $}$ .

Informellt, om $L$ är nära att stabiliseras av IFS, så är $L$ också nära att vara IFS:s attraktion.

Se även

• Michael Barnsley
• Barnsley ormbunke

•   Barnsley, Michael. (1988). Fraktaler överallt . Academic Press, Inc. ISBN 0-12-079062-9 .

externa länkar

• En beskrivning av collagesatsen och den interaktiva Java-appleten vid cut-the-knot .
• Anteckningar om att designa IFS:er för att approximera verkliga bilder.
• Expository Paper on Fractals and Collage theorem