Cohns oreducerbarhetskriterium

Arthur Cohns irreducerbarhetskriterium är ett tillräckligt villkor för att ett polynom ska vara irreducerbart i ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]} —$ det vill säga för att det ska vara opåverkaligt till produkten av lägre gradspolynom med heltal koefficienter .

Kriteriet anges ofta som följer:

Om ett primtal $p$ uttrycks i bas 10 som ${\displaystyle p=a_{m}10^ {m}+a_{m-1}10^{m-1}+\cdots +a_{1}10+a_{0}} (där ≤ a i ≤ 9 {\$ displaystyle $0\leq a_{i}\leq 9$) then the polynomial

$f(x)=a_{m}x^{m}+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$

is irreducible in $\mathbb {Z} [x]$.

Teoremet kan generaliseras till andra baser enligt följande:

Antag att $b\geq 2$ är ett naturligt tal och ${\displaystyle p(x )=a_{k}x^{k}+a_{k-1}x^{k-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}} är ett polynom så$ att $0\leq a_{i}\leq b-1$ . Om $p(b)$ är ett primtal så är $p(x)$ irreducerbar i $\mathbb {Z} [x]$ .

Bas 10-versionen av satsen tillskrivs Cohn av Pólya och Szegő i en av deras böcker medan generaliseringen till valfri bas b beror på Brillhart, Filaseta och Odlyzko .

År 2002 gav Ram Murty ett förenklat bevis samt lite historia av satsen i en tidning som är tillgänglig online.

En ytterligare generalisering av teoremet som tillåter koefficienter större än siffror gavs av Filaseta och Gross. Låt särskilt $f(x)$ vara ett polynom med icke-negativa heltalskoefficienter så att $f(10)$ är primtal. Om alla koefficienter är $\leq$ 49598666989151226098104244512918, då är $f(x)$ irreducerbar över $\mathbb {Z} [x]$ . Dessutom bevisade de att denna gräns också är skarp. Med andra ord, koefficienter större än 49598666989151226098104244512918 garanterar inte irreducerbarhet. Metoden för Filaseta och Gross generaliserades också för att ge liknande skarpa gränser för vissa andra baser av Cole, Dunn och Filaseta.

Motsatsen till detta kriterium är att om p är ett irreducerbart polynom med heltalskoefficienter som har största gemensamma divisor 1, så finns det en bas så att koefficienterna för p bildar representationen av ett primtal i den basen; detta är Bunyakovskys gissning och dess sanning eller falskhet förblir en öppen fråga.

Historiska anteckningar

• Polya och Szegő gav sin egen generalisering men den har många sidovillkor (till exempel på placeringen av rötterna) [ så det saknar elegansen hos Brillharts, Filasetas och Odlyzkos generalisering.
• Det framgår av sammanhanget att "A. Cohn" som Polya och Szegő nämner är Arthur Cohn (1894–1940), en student till Issai Schur som doktorerades från Frederick William University 1921.

Se även

• Eisensteins kriterium
• Perrons oreducerbarhetskriterium

externa länkar

• "A. Cohns kriterium för oreducerbarhet" . PlanetMath .