Clawson punkt

Clawson-punkten $P$ som homotetisk centrum för de liknande trianglarna $\triangle T_{a}T_{b}T_{c}$ och ${\ displaystil \triangle H_{a}H_{b}H_{c}}$ (röd)

Clawson -punkten är en speciell punkt i en plan triangel definierad av de trilinjära koordinaterna $\tan(\alpha ):\tan(\beta ): \tan(\gamma )$ ( Kimberling nummer X(19)), där $\alpha ,\beta ,\gamma$ är de inre vinklarna vid triangelns hörn $A,B,C$ . Den är uppkallad efter John Wentworth Clawson, som publicerade den 1925 i American Mathematical Monthly .

Geometriska konstruktioner

Det finns åtminstone två sätt att konstruera Clawson-punkten, som också kan användas som koordinatfria definitioner av punkten. I båda fallen har du två trianglar, där de tre linjerna som förbinder deras respektive hörn möts i en gemensam punkt, som är Clawson-punkten.

Konstruktion 1

För en given triangel $\triangle ABC$ låt $\triangle H_{a}H_{b}H_{c}$ vara dess ortiska triangel och $\triangle T_{a}T_{b}T_{c}$ triangeln som bildas av de yttre tangenterna till dess tre cirklar . Dessa två trianglar är lika och Clawson-punkten är deras likhetscentrum , därför de tre linjerna $T_{a}H_{a},T_{b}H_ {b},T_{c}H_{c}$ som förbinder sina hörn möts i en gemensam punkt, som är Clawson-punkten.

Konstruktion 2

Clawson-punkt $P$ som perspektivcentrum för perspektivtrianglarna $\triangle ABC$ och $\triangle A'B'C'$

För en triangel $\triangle ABC$ skär dess omslutna cirkel var och en av dess tre cirkelcirklar i två punkter. De tre linjerna genom dessa skärningspunkter bildar en triangel $\triangle A^{\prime }B^{\prime }C^{\prime }$ . Denna triangel och triangeln $\triangle ABC$ är perspektivtrianglar med Clawson-punkten som deras perspektivcentrum . Därför möts de tre linjerna $AA^{\prime },BB^{\prime },CC^{\prime }$ i Clawson-punkten.

Historia

Punkten är nu uppkallad efter JW Clawson, som publicerade sina trilinjära koordinater 1925 i American Mathematical Monthly som problem 3132, där han bad om geometrisk konstruktion av den punkten. Den franske matematikern Émile Lemoine hade dock redan undersökt punkten 1886. Senare återupptäcktes punkten självständigt av R. Lyness och GR Veldkamp 1983, som kallade den avgörande punkt efter den kanadensiska matematiktidskriften Crux Mathematicorum där den publicerades som problem 682 .

externa länkar

• Weisstein, Eric W. "Clawson Point" . MathWorld .
• X(19)=CLAWSON POINT och CLAWSON POINT i Encyclopedia of Trinagle Centers (ETC)
• LE POINT CLAWSON PAR LES TRIANGLES ORTHIQUES ET EXTANGENT
• Clawson Point: Orthic Triangle, Extangents Triangle, Homothecy eller Homothety