Centrerad trochoid

En epitrokoid (röd) med fast cirkels radie R = 3, rullande cirkels radie r = 1 och avstånd d = 1/2 från den rullande cirkelns centrum till genereringspunkten

En hypotrochoid (röd) med R = 5, r = 3, d = 5

I geometri är en centrerad trochoid rouletten som bildas av en cirkel som rullar längs en annan cirkel. Det vill säga, det är den väg som spåras av en punkt fäst vid en cirkel när cirkeln rullar utan att glida längs en fast cirkel. Termen omfattar både epitrochoid och hypotrochoid . Centrum för denna kurva definieras som mitten av den fasta cirkeln .

Alternativt kan en centrerad trochoid definieras som den väg som spåras av summan av två vektorer, som var och en rör sig med en enhetlig hastighet i en cirkel. Specifikt är en centrerad trochoid en kurva som kan parametriseras i det komplexa planet av

z=r_{1}e^{i\omega _{1}t}+r_{2}e^{i\omega _{2}t},\,

eller i det kartesiska planet av

x=r_{1}\cos(\omega _{1}t)+r_{2}\cos( \omega _{2}t),

y=r_{1}\sin(\omega _{1} t)+r_{2}\sin(\omega _{2}t),\,

var

r_{1},r_{2},\omega _{1},\omega _{2}\neq 0,\quad \omega _{1}\neq \omega _{2}.\,

Om $\omega _{1}/\omega _{2}$ är rationell så är kurvan sluten och algebraisk. Annars slingrar sig kurvan runt origo ett oändligt antal gånger, och är tät i ringen med yttre radie $|r_{1}|+|r_{2}|$ och inre radie $||r_{1}|-|r_{2}||$ .

Terminologi

De flesta författare använder epitrochoid för att betyda en roulette av en cirkel som rullar runt utsidan av en annan cirkel, hypotrochoid för att betyda en roulette av en cirkel som rullar runt insidan av en annan cirkel, och trochoid för att betyda en roulette av en cirkel som rullar längs en linje. Men vissa författare (till exempel [1] efter F. Morley ) använder "trochoid" för att betyda en roulette av en cirkel som rullar längs en annan cirkel, även om detta är oförenligt med den vanligare terminologin. Termen centrerad trochoid som antagits av [2] kombinerar epitrochoid och hypotrochoid till ett enda koncept för att effektivisera matematisk framställning och förblir i överensstämmelse med den befintliga standarden.

Termen Trochoidal kurva beskriver epitrochoider, hypotrochoider och trochoider (se [3] ) . En trochoidal kurva kan definieras som den väg som spåras av summan av två vektorer, som var och en rör sig med en enhetlig hastighet i en cirkel eller i en rät linje (men inte båda rör sig i en linje).

I de parametriska ekvationerna ovan är kurvan en epitrokoid om $\omega _{1}$ och $\omega _{2}$ har samma tecken, och en hypotrochoid om de har motsatt tecken.

Dubbel generation

Låt en cirkel med radie $b$ rullas på en cirkel med radie $a$ , och en punkt $p$ är fäst vid den rullande cirkeln. Den fasta kurvan kan parametreras som $f(t)=ae^{it}$ och den rullande kurvan kan parametreras som antingen $r(t)=be^{i(a/b)t}$ eller $r(t)=-be ^{-i(a/b)t}$ beroende på om parametreringen korsar cirkeln i samma riktning eller i motsatt riktning som parametreringen av den fasta kurvan. I båda fallen kan vi använda $r(t)=ce^{i(a/c)t}$ där $|c|=b$ . Låt $p$ fästas vid den rullande cirkeln vid $d$ . Sedan, genom att tillämpa formeln för rouletten , spårar punkten ut en kurva som ges av:

{\begin{aligned}f(t)+(dr(t)){f'(t) \over r'(t)}&=ae^{it}+(d-ce^{i( a/c)t}){aie^{it} \over aie^{i(a/c)t}}\\&=(ac)e^{it}+de^{i(1-a/c )t}.\end{aligned}}

Detta är parametriseringen ovan med $r_{1}=ac$ , $r_{2}=d$ , $\omega _{ 1}=1$ , $\omega _{2}=1-a/c$ .

Omvänt, givet $r_{1}$ , $r_{2}$ , $\omega _{1}$ och $\omega _{2}$ , kurvan $r_{1}e^{i\omega _{1}t}+r_{2}e^{i\omega _ {2}t}$ kan parametreras om som $r_{1}e^{it}+r_{2}e^{i( \omega _{2}/\omega _{1})t}$ och ekvationerna $r_{1}=ac$ , $r_{2}=d$ , $\omega _{2}/\omega _{1}=1-a/c$ kan lösas för $a$ , ${\ displaystyle c}$ och $d$ för att få $a=r_{1}(1-\omega _{1}/\omega _{2}),\ c=-r_{1}{\omega _{1}/\omega _{2}} ,\ d=r_{2}.$

Kurvan $r_{1}e^{i\omega _{1}t}+r_{2}e^{i\omega _{2 }t}$ förblir detsamma om indexen 1 och 2 är omvända men de resulterande värdena för $a$ , $c$ och ${\displaystyle d} ,$ i allmänhet inte. Detta producerar Dual generation theoremet som säger att, med undantag för det speciella fallet som diskuteras nedan, kan vilken centrerad trochoid som helst genereras på två väsentligen olika sätt som rouletten i en cirkel som rullar på en annan cirkel.

Exempel

Kardioid

Kardioiden parametriseras av $2e^{it}-e^{2it$ } . Ta $r_{1}=2,r_{2}=-1,\omega _{1}=1,\omega _{2}=2$ för att få $a=2(1-1/ 2)=1,c=-2(1/2)=-1,d=-1$ . Cirklarna har båda radie 1 och eftersom c < 0 rullar den rullande cirkeln runt utsidan av den fasta cirkeln. Punkten p är 1 enhet från mitten av rullningen så den ligger på sin omkrets. Detta är den vanliga definitionen av kardioiden. Vi kan också parametrisera kurvan som ${\displaystyle -e^{2it}+2e^{it}} ,$ så vi kan också ta $r_{1}=-1,r_{2}=2,\omega _{1}=2,\omega _{2}=1$ för att få $a=-1(1-2)=1,b=-(-1)(2) )=2,d=2.$ I det här fallet har den fasta cirkeln radie 1, den rullande cirkeln har radie 2, och eftersom c > 0, kretsar den rullande cirkeln runt den fasta cirkeln på samma sätt som en hula hoop . Detta ger en väsentligt annorlunda definition av samma kurva.

Ellips

Om $\omega _{1}=-\omega _{2}$ får vi den parametriska kurvan $r_{1} e^{it}+r_{2}e^{-it}$ , eller $x=( r_{1}+r_{2})\cos t,y=(r_{1}-r_{2})\sin t\,\!$ . Om ${\displaystyle |r_{1}|\neq |r_{2}|} ,$ detta är ekvationen för en ellips med axlar $2|r_{1}+r_{2}|$ och $2|r_{1}-r_{2}|$ . Utvärdera $a$ , $c$ och $d$ som tidigare; antingen $a=2r_{1},c=r_{1},d=r_{2}\,\!$ eller $a=2r_{2},c=r_{2},d=r_{1}\,\!$ . Detta ger två olika sätt att skapa en ellips, som båda involverar en cirkel som rullar inuti en cirkel med dubbelt så stor diameter.

Rak linje

Om dessutom, bredvid $\omega _{1}=-\omega _{2}$ , $r_{1}=r_{2}= r$ , då $a=2r,b=r,c=r\,\!$ i båda fallen och de två sätten att generera kurvan är desamma. I detta fall är kurvan helt enkelt $x=2r\cos t,y=0\,\!$ eller ett segment av x-axeln.

På samma sätt, om $r_{1}=r,r_{2}=-r\,\!$ , då $a=2r,c=r,d=-r\,\!$ eller $a=-2r,c=-r,d= r\,\!$ . Cirkeln är symmetrisk kring ursprunget, så båda dessa ger samma par cirklar. I detta fall är kurvan helt enkelt $x=0,y=2r\sin t\,\!$ : ett segment av y-axeln.

Så fallet $\omega _{1}=-\omega _{2},\ |r_{1}|=|r_{2}|$ är ett undantag (faktiskt det enda undantaget) från dubbelgenerationssatsen ovan . Detta degenererade fall, där kurvan är ett rakt linjesegment, ligger bakom Tusi-paret .

"Centered trochoid" på mathcurve.com
"Epitrochoid" på mathcurve.com
"Hypotrochoid" på mathcurve.com
"Peritrochoid" på mathcurve.com
Yates, RC: A Handbook on Curves and Their Properties , JW Edwards (1952), "Trochoids"
Trochoider: kurvor genererade av en rullande cirkel

externa länkar