Cauchy–Rassias stabilitet

Ett klassiskt problem för Stanislaw Ulam i teorin om funktionella ekvationer är följande: När är det sant att en funktion som ungefär uppfyller en funktionell ekvation E måste vara nära en exakt lösning av E ? 1941 gav Donald H. Hyers ett delvis jakande svar på denna fråga i samband med Banach-utrymmen. Detta var det första betydande genombrottet och ett steg mot fler studier inom detta forskningsområde. Sedan dess har ett stort antal artiklar publicerats i samband med olika generaliseringar av Ulams problem och Hyers teorem. År 1978 Themistokles M. Rassias utvidga Hyers' teorem genom att överväga en obegränsad Cauchy-skillnad. Han var den första som bevisade stabiliteten hos den linjära kartläggningen i Banach-rymden. År 1950 hade T. Aoki tillhandahållit ett bevis på ett specialfall av Rassias resultat när den givna funktionen är additiv. För en omfattande presentation av stabiliteten hos funktionella ekvationer i samband med Ulams problem hänvisas den intresserade läsaren till den färska boken av S.-M. Jung, publicerad av Springer, New York, 2011 (se referenser nedan).

Th. M. Rassias' teorem lockade ett antal matematiker som började stimuleras att forska i stabilitetsteori för funktionella ekvationer . Genom att angå det stora inflytandet från SM Ulam , DH Hyers och Th. M. Rassias om studiet av stabilitetsproblem för funktionella ekvationer, detta koncept kallas Hyers–Ulam–Rassias stabilitet .

I det speciella fallet när Ulams problem accepterar en lösning för Cauchys funktionella ekvation f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ), sägs ekvationen E tillfredsställa Cauchy–Rassias stabilitet . Namnet hänvisas till Augustin-Louis Cauchy och Themistokles M. Rassias .

• PM Pardalos, PG Georgiev och HM Srivastava (red.), Icke-linjär analys. Stabilitet, approximation och ojämlikheter. För att hedra Themistokles M. Rassias i samband med hans 60-årsdag, Springer, New York, 2012.
• DH Hyers, om stabiliteten hos den linjära funktionella ekvationen , Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 27 (1941), 222-224.
• Th. M. Rassias, Om stabiliteten hos den linjära kartläggningen i Banach-utrymmen , Proceedings of the American Mathematical Society 72(1978), 297-300. [Översatt till kinesiska och publicerad i: Mathematical Advance in Translation , Chinese Academy of Sciences 4 (2009), 382-384.]
• Th. M. Rassias, Om stabiliteten hos funktionella ekvationer och ett problem med Ulam , Acta Applicandae Mathematicae, 62 (1)(2000), 23-130.
•   S.-M. Jung, Hyers-Ulam-Rassias Stability of Functional Equations in Nolinear Analysis , Springer, New York, 2011, ISBN 978-1-4419-9636-7 .
• T. Aoki, om stabiliteten av den linjära transformationen i Banach-utrymmen , J. Math. Soc. Jpn., 2 (1950), 64-66.
• C.-G. Park, Generaliserade kvadratiska kartläggningar i flera variabler , Nolinjär Anal., 57 (2004), 713–722.
• J.-R. Lee och D.-Y. Shin, On the Cauchy-Rassias stabilitet av en generaliserad additiv funktionell ekvation, J. Math. Anal. Appl. 339 (1) (2008), 372–383.
• C. Baak, Cauchy – Rassias stabilitet av Cauchy-Jensen additiv kartläggning i Banach spaces, Acta Math. Sinica (Engelska serien), 15 (1) (1999), 1-11.
• C.-G. Park, Homomorphisms between Lie JC*- algebras and Cauchy – Rassias stability of Lie JC*-algebra derivations , J. Lie Theory, 15 (2005), 393–414.
• J.-R. Lee, D.-Y. Shin, på Cauchy-Rassias stabiliteten för Trif funktionella ekvation i C*-algebror . J. Math. Anal. Appl. 296 (1) (2004), 351–363.
• C. Baak, H.- Y. Chu och MS Moslehian, On the Cauchy-Rassias ojämlikhet och linjära n–inre produktbevarande kartläggningar, Math. Ojämlika. Appl. 9 (3) (2006), 453–464.
• C.-G. Park, M. Eshaghi Gordji och H. Khodaei, A fix point approach to the Cauchy-Rassias stabilitet av allmänna Jensen-typ kvadratisk-kvadratiska mappningar, Bull. koreansk matematik. Soc. 47 (2010), nr. 5, 987-996
• A. Najati, Cauchy-Rassias stabilitet hos homomorfismer associerade med en funktionell ekvation av Pexiderized Cauchy-Jensen-typ, J. Math. Ojämlika. 3 (2)(2009), 257-265.
• C.-G. Park och SY Jang, Cauchy-Rassias stabilitet av sesquilinear n-kvadratiska mappningar i Banach moduler, Rocky Mountain J. Math. 39 (6) (2009), 2015–2027.
•   Pl. Kannappan, Functional Equations and Inequalities with Applications , Springer, New York, 2009, ISBN 978-0-387-89491-1 .
•   PK Sahoo och Pl. Kannappan, Introduction to Functional Equations , CRC Press, Chapman & Hall Book, Florida, 2011, ISBN 978-1-4398-4111-2 .
•   Th. M. Rassias och J. Brzdek (red.), Functional Equations in Mathematical Analysis , Springer, New York, 2012, ISBN 978-1-4614-0054-7 .