Brinkmann koordinerar

Brinkmann-koordinater är ett speciellt koordinatsystem för en rumtid som tillhör familjen pp-vågsmetrik . De är uppkallade efter Hans Brinkmann. När det gäller dessa koordinater kan den metriska tensorn skrivas som

$ds^{2}=H(u,x,y)du^{2 }+2dudv+dx^{2}+dy^{2}$

där $\displaystyle \partial _{v}}$ { , koordinatvektorfältet som är dubbelt mot covektorfältet $dv$ , är ett nollvektorfält . Geometriskt sett är det faktiskt en noll geodetisk kongruens med försvinnande optiska skalärer . Fysiskt sett fungerar den som vågvektorn som definierar utbredningsriktningen för pp-vågen .

Koordinatvektorfältet $\partial _{u}$ kan vara spacelike, noll eller timelike vid en given händelse i spacetime , beroende på tecknet för $H( u,x,y)$ vid den händelsen. Koordinatvektorfälten $\partial _{x},\partial _{y}$ är båda rymdliknande vektorfält . Varje yta $u=u_{0},v=v_{0}$ kan ses som en vågfront .

I diskussioner om exakta lösningar på Einsteins fältekvation misslyckas många författare med att specificera det avsedda området för koordinatvariablerna ${\displaystyle u,v,x,y$ } . Här bör vi ta

$-\infty <v,x,y<\infty ,u_{0}<u<u_{1}$

för att tillåta möjligheten att pp-vågen utvecklar en nollkurvatursingularitet.

•   Stephani, Hans; Kramer, Dietrich; MacCallum, Malcolm; Hoenselaers, Cornelius & Herlt, Eduard (2003). Exakta lösningar av Einsteins fältekvationer . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-46136-7 .
•   HW Brinkmann (1925). "Einstein-utrymmen som kartläggs konformt på varandra". Matematik. Ann . 18 : 119–145. doi : 10.1007/BF01208647 . S2CID 121619009 .