Bra omslag (algebraisk topologi)

Locket till vänster är inte ett bra lock, eftersom medan alla öppna uppsättningar i locket är sammandragbara, är deras korsning bortkopplad. Skyddet till höger är ett bra skydd, eftersom skärningen mellan de två uppsättningarna är sammandragbar.

Inom matematik är ett öppet lock av ett topologiskt utrymme $X$ en familj av öppna delmängder så att $X$ är föreningen av alla öppna mängder. Ett bra lock är ett öppet lock där alla uppsättningar och alla icke-tomma skärningar av ändligt många uppsättningar är sammandragbara ( Petersen 2006 ) .

Konceptet introducerades av André Weil 1952 för differentierbara grenrör , och krävde att $U_{\alpha _{1}\ldots \alpha _{n}}$ skulle vara differentierbart sammandragbar. En modern version av denna definition finns i Bott & Tu (1982) .

Ansökan

En viktig anledning till föreställningen om ett bra skydd är att Leray-spektralsekvensen för ett fiberknippe degenererar för ett bra hölje, och därför är Čech-kohomologin förknippad med ett bra hölje densamma som Čech-kohomologin i rummet. (Ett sådant lock är känt som ett Leray-omslag .) För att beräkna Čech-kohomologin räcker det dock med en mer avslappnad definition av ett bra lock där alla skärningar av ändligt många öppna uppsättningar har sammandragbara anslutna komponenter. Detta följer av det faktum att högre härledda funktorer kan beräknas med acykliska upplösningar .

Exempel

Den tvådimensionella ytan av en sfär $S^{2}$ har ett öppet täcke av två sammandragbara uppsättningar, öppna områden av motsatta halvklot. Dessa två uppsättningar har dock en skärningspunkt som bildar ett icke sammandragbart ekvatorialband. För att bilda en bra täckning för denna yta behöver man minst fyra öppna set. Ett bra hölje kan bildas genom att projicera ytorna av en tetraeder på en sfär i vilken den är inskriven, och ta en öppen grannskap av varje yta. Den mer avslappnade definitionen av ett bra skydd gör att vi kan göra detta med endast tre öppna uppsättningar. Ett lock kan bildas genom att välja två diametralt motsatta punkter på sfären, rita tre icke-korsande segment som ligger på sfären som förbinder dem och ta öppna områden av de resulterande ytorna.

•   Bott, Raoul ; Tu, Loring (1982), Differential Forms in Algebraic Topology , New York: Springer, ISBN 0-387-90613-4 , §5, S. 42.
• Weil, Andre (1952), "Sur les theoremes de de Rham", Commentarii Math. Helv. , 26 : 119-145
•    Petersen, Peter (2006), Riemannsk geometri , Graduate Texts in Mathematics, vol. 171 (andra upplagan), New York: Springer, sid. 383, ISBN 978-0387-29246-5 , MR 2243772