Born–Landé ekvation

Born –Landé-ekvationen är ett sätt att beräkna gitterenergin för en kristallin jonförening . 1918 Max Born och Alfred Landé att gitterenergin kunde härledas från jongittrets elektrostatiska potential och en repulsiv potentiell energiterm.

E=-{\frac {N_{A}Mz^{+}z^{-}e^{2 }}{4\pi \varepsilon _{0}r_{0}}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)

var:

N _A = Avogadro konstant ;
M = Madelung konstant , relaterad till kristallens geometri;
z ⁺ = numeriskt laddningsnummer för katjon
z ⁻ = numeriskt laddningsnummer för anjon
e = elementär laddning , 1,6022 × 10 ⁻¹⁹ C
₀ ε = permittivitet för fritt utrymme
₀ 4π ε = 1,112 × 10 ⁻¹⁰ C ² /(J·m)
₀ r = avståndet mellan närmaste katjon [ +ve ] och anjon [ -ve ].
n = Born exponent, typiskt ett tal mellan 5 och 12, bestämt experimentellt genom att mäta kompressibiliteten hos den fasta substansen, eller härledd teoretiskt.
E = Gitterenergi uttrycks med 'E' .

Härledning

Det joniska gittret är modellerat som en sammansättning av hårda elastiska sfärer som komprimeras samman av den ömsesidiga attraktionen av de elektrostatiska laddningarna på jonerna. De uppnår det observerade jämviktsavståndet från varandra på grund av en balanserande avstötning på kort räckvidd.

Elektrostatisk potential

Den elektrostatiska potentiella energin, E _-par , mellan ett par joner med lika och motsatt laddning är:

E_{\text{pair}}=-{\frac {z^{2}e^{2}}{4\pi \epsilon _{0} r}}

var

z = laddningens storlek på en jon

e = elementär laddning, 1,6022 × 10 ⁻¹⁹ C

₀ ε = permittivitet för fritt utrymme

₀ 4

π

ε = 1,112 × 10 ⁻¹⁰ C ² /(J·m)

r = avståndet som skiljer joncentrumen åt

För ett enkelt gitter bestående av joner med lika och motsatt laddning i förhållandet 1:1 måste interaktioner mellan en jon och alla andra gitterjoner summeras för att beräkna E M , ibland _kallad Madelung eller gitterenergi:

Det gick inte att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via webbläsarplugin): Ogiltigt svar ("Math-tillägget kan inte ansluta till Restbase.") från servern "/mathoid/local/v1/":: {\displaystyle E_\text{M } = -\frac{z^2 e^2 M}{4 \pi \epsilon_0 r}}

var

M = Madelungs konstant , som är relaterad till kristallens geometri

r = närmaste avståndet mellan två joner med motsatt laddning

Motbjudande term

Born och Lande föreslog att en repulsiv växelverkan mellan gitterjonerna skulle vara proportionell mot 1 / r ⁿ så att den repulsiva energitermen, E _R , skulle uttryckas:

E_{\text{R}}={\frac {B}{r^{n}}}

var

B = konstant skalning styrkan hos den repulsiva interaktionen

r = närmaste avståndet mellan två joner med motsatt laddning

n = Born exponent, ett tal mellan 5 och 12 som uttrycker den repulsiva barriärens branthet

Total energi

Den totala intensiva potentiella energin för en jon i gittret kan därför uttryckas som summan av Madelung och repulsiva potentialer:

E(r)=-{\frac {z^{2}e^{2}M}{4\pi \epsilon _{0}r}}+{\frac {B}{r^{n}}}

₀ Att minimera denna energi med avseende på r ger jämviktsseparationen r i termer av den okända konstanten B :

{\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} r }}&={\frac {z^{2}e^{2}M}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}-{\frac {nB}{r^{n+ 1}}}\\0&={\frac {z^{2}e^{2}M}{4\pi \epsilon _{0}r_{0}^{2}}}-{\frac {nB }{r_{0}^{n+1}}}\\r_{0}&=\left({\frac {4\pi \epsilon _{0}nB}{z^{2}e^{2 }M}}\right)^{\frac {1}{n-1}}\\B&={\frac {z^{2}e^{2}M}{4\pi \epsilon _{0} n}}r_{0}^{n-1}\end{aligned}}

₀ Att utvärdera den minsta intensiva potentiella energin och ersätta uttrycket för B i termer av r ger Born–Landé-ekvationen:

E(r_{0})=-{\frac {Mz^{2}e^{2}}{4 \pi \epsilon _{0}r_{0}}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)

Beräknade gitterenergier

Born–Landé-ekvationen ger en uppfattning om gitterenergin i ett system.

Förening	Beräknad	Experimentell
NaCl	−756 kJ/mol	−787 kJ/mol
LiF	−1007 kJ/mol	−1046 kJ/mol
CaCl2 _{_}	−2170 kJ/mol	−2255 kJ/mol

Född exponent

Born-exponenten är vanligtvis mellan 5 och 12. Ungefärliga experimentvärden listas nedan:

Jonkonfiguration	han	Ne	Ar, Cu ⁺	Kr, Ag ⁺	Xe, Au ⁺
n	5	7	9	10	12

Se även