Binomial differentialekvation

I matematik är den binomiska differentialekvationen en vanlig differentialekvation som innehåller en eller flera funktioner av en oberoende variabel och derivatorna av dessa funktioner.

Till exempel:

$\left(y'\right)^{m}=f(x,y),$ när $m$ är ett naturligt tal (dvs. , ett positivt heltal ), och $f(x,y)$ är ett polynom i två variabler (dvs. ett bivariat polynom).

Lösningen

Låt $P\left({x,y}\right)=\left({x +y}\right)^{k}=\summa \limits _{j=0}^{k}{\left({\begin{array}{*{20}c}k\\j\\\end {array}}\right)x^{j}y^{kj}}$ vara ett polynom i två variabler av ordningen $k$ ; där $k$ är ett positivt heltal . Den binomiska differentialekvationen blir ${\displaystyle \left({y'}\right)^{m}=\left({x+y}\right)^{k};} med ersättningen v = x + y$ { $+ y}$ , vi får att $v'=1+y'$ , därför $\left({v'-1}\right )^{m}=v^{k}$ eller så kan vi skriva ${\displaystyle v'=1+v^{\textstyle {k \over m}}} ​​,$ som är en separerbar ordinarie differentialekvation, alltså

${\frac {dv}{dx}}=1+v^{\textstyle {k \over m}}\Rightarrow {\frac {dv}{1+v^{\textstyle {k \over m} }}}=dx\Högerpil \int {\frac {dv}{1+v^{\textstyle {k \over m}}}}=x+C.$

Speciella fall:

- Om $m=k$ , har vi differentialekvationen $v'-1=v$ och lösningen är ${\displaystyle y\left(x\right)=Ce^{x}-x-1} ,$ där $C$ är en konstant.

- Om $m|k$ , dvs $m$ delar $k$ så att det finns ett positivt heltal $n$ så att $k=nm$ , då har lösningen formen $\int {\frac {dv}{1+v^{n}}}=x+C$ . Från Gradshteyns och Ryzhiks tabellbok fann vi det

$\int {\frac {dv}{1+v^{ n}}}=\left\{{\begin{array}{l}-{\frac {2}{n}}\sum \limits _{i=0}^{{\textstyle {n \over 2} }-1}{P_{i}\cos \left({{\frac {2i+1}{n}}\pi }\right)}+{\frac {2}{n}}\sum \limits _ {i=0}^{{\textstyle {n \over 2}}-1}{Q_{i}\sin \left({{\frac {2i+1}{n}}\pi }\right)} ,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ ,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,n:\,{\rm {jämn\,\,heltal}}\\\\{\frac {1}{n}}\ln \left({1+v}\right)-{\frac {2}{n}}\sum \limits _{i=0}^{\textstyle {{n-3 } \over 2}}{P_{i}\cos \left({{\frac {2i+1}{n}}\pi }\right)}+{\frac {2}{n}}\sum \ gränser _{i=0}^{\textstyle {{n-3} \över 2}}{Q_{i}\sin \left({{\frac {2i+1}{n}}\pi }\right )},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,n:\,{\rm {udda\,\,heltal}}\\\ slut{array}}\höger.$

och

$P_{i}={\frac {1}{2}}\ln \left( {v^{2}-2v\cos \left({{\frac {2i+1}{n}}\pi }\right)+1}\right),$

$Q_{i}=\arctan \left({\frac {v-\cos \left({{\textstyle {{2i+1} \over n}}\pi }\right)}{\sin \ vänster({{\textstil {{2i+1} \över n}}\pi }\höger)}}\höger).$

Se även

• Exempel på differentialekvationer

• Zwillinger, Daniel Handbook of differentialekvationer, 3:e uppl. Boston, MA: Academic Press, sid. 120, 1997.