Bestämning av omloppsbana

Diagram som visar hur omloppsbestämningsdata hanterades i ett NASA-uppdrag 1962. (Endast av historiskt intresse.)

Orbit bestämning är uppskattningen av banor för objekt som månar, planeter och rymdfarkoster. En viktig applikation är att tillåta spårning av nyligen observerade asteroider och verifiera att de inte har upptäckts tidigare. De grundläggande metoderna upptäcktes på 1600-talet och har kontinuerligt förfinats.

Observationer är rådata som matas in i omloppsbestämningsalgoritmer. Observationer gjorda av en markbaserad observatör består vanligtvis av tidsmärkta azimut- , höjd- , avstånds- och/eller avståndshastighetsvärden . Teleskop eller radarapparater används, eftersom observationer med blotta ögat är otillräckliga för exakt bestämning av omloppsbana. Med fler eller bättre observationer förbättras också noggrannheten i omloppsbestämningsprocessen, och färre " falsklarm" uppstår.

Efter att banor har bestämts kan matematiska utbredningstekniker användas för att förutsäga framtida positioner för kretsande objekt. Allt eftersom tiden går, tenderar den faktiska banan för ett kretsande objekt att avvika från den förutsagda banan (särskilt om objektet är föremål för svårförutsägbara störningar såsom luftmotstånd ), och en ny omloppsbestämning med hjälp av nya observationer tjänar till att återställa -kalibrera kunskap om omloppsbanan.

Satellitspårning är en annan viktig applikation. För USA och partnerländerna, i den utsträckning som optiska resurser och radarresurser tillåter, samlar Joint Space Operations Center observationer av alla objekt i jordens omloppsbana. Observationerna används i nya beräkningar av omloppsbana som upprätthåller den övergripande noggrannheten i satellitkatalogen . Kollisionsundvikande beräkningar kan använda dessa data för att beräkna sannolikheten för att ett kretsande objekt kommer att kollidera med ett annat. En satellits operatör kan besluta att justera omloppsbanan, om risken för kollision i den nuvarande omloppsbanan är oacceptabel. (Det är inte möjligt att justera omloppsbanan för händelser med mycket låg sannolikhet; det skulle snart förbruka det drivmedel som satelliten bär för att hålla omloppsbanor.) Andra länder, inklusive Ryssland och Kina , har liknande spårningstillgångar.

Historia

Bestämning av omloppsbana har en lång historia, som börjar med den förhistoriska upptäckten av planeterna och efterföljande försök att förutsäga deras rörelser. Johannes Kepler använde Tycho Brahes noggranna observationer av Mars för att härleda den elliptiska formen av dess bana och dess orientering i rymden, och härledde hans tre lagar för planetrörelse i processen.

De matematiska metoderna för bestämning av omloppsbana har sitt ursprung i publiceringen 1687 av den första upplagan av Newtons Principia , som gav en metod för att hitta en kropps omloppsbana efter en parabolisk väg från tre observationer. Detta användes av Edmund Halley för att fastställa banorna för olika kometer , inklusive den som bär hans namn. Newtons metod för successiv approximation formaliserades till en analytisk metod av Euler 1744, vars arbete i sin tur generaliserades till elliptiska och hyperboliska banor av Lambert 1761–1777.

En annan milstolpe i omloppsbestämning var Carl Friedrich Gauss hjälp vid "återhämtningen" av dvärgplaneten Ceres 1801. Gauss metod kunde använda bara tre observationer (i form av himmelska koordinater ) för att hitta de sex orbitala element som fullständigt beskriver en bana. Teorin om omloppsbestämning har senare utvecklats till den punkt där den idag tillämpas i GPS-mottagare samt spårning och katalogisering av nyligen observerade mindre planeter .

Observationsdata

För att bestämma en kropps okända omloppsbana krävs några observationer av dess rörelse med tiden. I tidigmodern astronomi var de enda tillgängliga observationsdata för himlaobjekt den rätta uppstigningen och deklinationen , erhållen genom att observera kroppen när den rörde sig i sin observationsbåge , i förhållande till fixstjärnorna , med hjälp av ett optiskt teleskop . Detta motsvarar att känna till objektets relativa riktning i rymden, mätt från observatören, men utan kunskap om objektets avstånd, dvs den resulterande mätningen innehåller endast riktningsinformation, som en enhetsvektor .

Med radar är relativa avståndsmätningar (genom radarekots timing) och relativa hastighetsmätningar (genom att mäta radarekots dopplereffekt ) möjliga med hjälp av radioteleskop . Den returnerade signalstyrkan från radarn minskar dock snabbt, eftersom den omvända fjärde potensen av räckvidden till objektet. Detta begränsar i allmänhet radarobservationer till objekt relativt nära jorden, såsom konstgjorda satelliter och jordnära objekt . Större öppningar tillåter spårning av transpondrar på interplanetära rymdfarkoster i hela solsystemet och radarastronomi av naturliga kroppar.

Olika rymdorganisationer och kommersiella leverantörer driver spårningsnätverk för att tillhandahålla dessa observationer. Se Kategori:Deep Space Network för en dellista. Rymdbaserad spårning av satelliter utförs också regelbundet. Se Lista över radioteleskop#rymdbaserade och rymdnätverk .

Metoder

Bestämning av omloppsbanan måste ta hänsyn till att kroppens skenbara himmelska rörelse påverkas av observatörens egen rörelse. Till exempel måste en observatör på jorden som spårar en asteroid ta hänsyn till jordens rörelse runt solen, jordens rotation och observatörens lokala latitud och longitud, eftersom dessa påverkar kroppens skenbara position.

En nyckelobservation är att (till en nära approximation) alla objekt rör sig i banor som är koniska sektioner , med den attraherande kroppen (som solen eller jorden) i huvudfokus, och att omloppsbanan ligger i ett fast plan. Vektorer som dras från den attraherande kroppen till kroppen vid olika tidpunkter kommer alla att ligga i orbitalplanet .

Om positionen och hastigheten i förhållande till observatören är tillgängliga (som är fallet med radarobservationer), kan dessa observationsdata justeras av observatörens kända position och hastighet i förhållande till den attraherande kroppen vid observationstillfällena. Detta ger positionen och hastigheten med avseende på den attraherande kroppen. Om två sådana observationer finns tillgängliga, tillsammans med tidsskillnaden mellan dem, kan omloppsbanan bestämmas med Lamberts metod, uppfunnen på 1700-talet. Se Lamberts problem för detaljer.

Även om ingen avståndsinformation finns tillgänglig kan en omloppsbana fortfarande bestämmas om tre eller flera observationer av kroppens högra uppstigning och deklination har gjorts. Gauss metod , som gjordes känd i hans 1801 "återhämtning" av den första förlorade mindre planeten, Ceres , har därefter polerats.

En användning är vid bestämning av asteroidmassor via den dynamiska metoden . I denna procedur används Gauss metod två gånger, både före och efter en nära interaktion mellan två asteroider. Efter att båda banorna har bestämts kan massan av en eller båda asteroiderna beräknas.

Bestämning av omloppsbana från en tillståndsvektor

Den grundläggande orbitalbestämningsuppgiften är att bestämma de klassiska orbitalelementen eller Kepler-elementen , ${\displaystyle a,e,i,\Omega ,\omega ,\nu } ,$ från orbitaltillståndet vektorer [ ${\vec {r}},{\vec {v}}$ ], av en kretsande kropp med avseende på referensramen för dess centrala kropp. De centrala kropparna är källorna till gravitationskrafterna, som solen, jorden, månen och andra planeter. De kretsande kropparna, å andra sidan, inkluderar planeter runt solen, konstgjorda satelliter runt jorden och rymdfarkoster runt planeter. Newtons rörelselagar förklarar väl banan för en kretsande kropp, känd som Keplerian bana .

Stegen för bestämning av omloppsbana från en tillståndsvektor sammanfattas enligt följande:

• Beräkna den specifika rörelsemängden ${\vec {h}}$ för den kretsande kroppen från dess tillståndsvektor:
  $${\vec {h}}={\vec {r}}\times {\vec {v}}=\left|{\vec {h}}\right|{\ vec {k}}=h{\vec {k}},$$
  där ${\vec {k}}$ är enhetsvektorn för orbitalplanets z-axel. Det specifika vinkelmomentet är en konstant vektor för en kretsande kropp, med dess riktning vinkelrät mot den kretsande kroppens omloppsplan.
• Beräkna den stigande nodvektorn ${\vec {n}}$ från ${\vec {h}}$ , med ${\vec {K}}$ som representerar enheten vektor för Z-axeln för referensplanet, som är vinkelrät mot referensplanet för den centrala kroppen:
  $${\vec {n}}={\vec {K}}\times {\vec {h}}.$$
  Den stigande nodvektorn är en vektor som pekar från den centrala kroppen till den uppåtgående noden i den kretsande kroppens omloppsplan. Eftersom linjen för stigande nod är skärningslinjen mellan orbitalplanet och referensplanet, är den vinkelrät mot både normalvektorerna för referensplanet ( ${\displaystyle {\vec {K}}} )$ och orbitalen plan ( ${\vec {k}}$ eller ${\displaystyle {\vec {h}}})$ . Därför kan den stigande nodvektorn definieras av korsprodukten av dessa två vektorer.
• Beräkna excentricitetsvektorn ${\vec {e}}$ för banan. Excentricitetsvektorn har storleken på excentriciteten , $e$ , för omloppsbanan, och pekar mot riktningen för omloppsbanan . Denna riktning definieras ofta som omloppsplanets x-axel och har en enhetsvektor ${\vec {i}}$ . Enligt rörelselagen kan det uttryckas som:
  $${\begin{aligned}{\vec {e}}&={{\vec {v}}\times {\vec {h}} \over {\mu }}-{{\vec {r}} \över {\left|{\vec {r}}\right|}}=e{\vec {i}}\\&=\left({{\left| {\vec {v}}\right|}^{2} \over {\mu }}-{1 \over {\left|{\vec {r}}\right|}}\right){\vec { r}}-{{\vec {r}}\cdot {\vec {v}} \over {\mu }}{\vec {v}}\\&={\frac {1}{\mu }} \left[\left({{\left|{\vec {v}}\right|}^{2}}-{\mu \över {\left|{\vec {r}}\right|}}\ höger){\vec {r}}-{({\vec {r}}\cdot {\vec {v}})}{\vec {v}}\right]\end{aligned}}$$
  $$e=\left|{\vec {e}}\right|$$
  där $\mu =GM$ är standardgravitationsparametern för den centrala massan $M$ och $G$ är den universella gravitationskonstanten .
• Beräkna semi-latus rektum $p$ för omloppsbanan, och dess halvstora axel $a$ (om det inte är en parabolisk bana , där $e=1$ och $a$ är odefinierad eller definierad som oändlig):
  $$p={\frac {h^{2}}{\mu }}=a(1-e^{2})$$
  $$a={\frac {p}{1-e^{2}}},$$
  (om $e\neq 1$ ).
• Beräkna lutningen $i$ för orbitalplanet med avseende på referensplanet:
  $${\begin{aligned}\cos( i)&={\frac {{\vec {K}}\cdot {\vec {h}}}{h}}={\frac {h_{K}}{h}}\\\Rightarrow i&=\ arccos \left({\frac {{\vec {K}}\cdot {\vec {h}}}{h}}\right),&i\in [0,180^{\circ }],\end{aligned} }$$
  där $h_{K}$ är Z-koordinaten för ${\vec {h}}$ när den projiceras till referensramen.
• Beräkna longituden för den stigande noden $\Omega$ , som är vinkeln mellan den stigande linjen och X-axeln för referensramen:
  $${\begin{aligned}\cos(\Omega )&={\frac {{\vec {I}}\cdot {\vec {n}}}{n}}={\frac {n_{I}}{n}}=\cos(360-\Omega )\\\Rightarrow \Omega &=\arccos \left({\frac {{\vec {I}}\cdot {\vec {n }}}{n}}\right)=\Omega _{0},{\text{ eller }}\\\Rightarrow \Omega &=360^{\circ }-\Omega _{0},{\text { if }}n_{J}<0,\\\end{aligned}}$$
  där $n_{I}$ och $n_{J}$ är X- respektive Y-koordinaterna för ${\displaystyle {\vec {n}}} ,$ i referensram. Lägg märke till att $\cos(A)=\cos(-A)=\cos(360-A)=C$ , men $\arccos(C)$ definieras endast i [0,180] grader. Så $\arccos(C)$ är tvetydig genom att det finns två vinklar, $A$ och $360-A$ i [0,360], som har samma $\cos$ värde. Det kan faktiskt returnera vinkeln $A$ eller $360-A$ . Därför måste vi göra bedömningen baserat på tecknet för Y-koordinaten för vektorn i planet där vinkeln mäts. I detta fall $n_{J}$ användas för en sådan bedömning.
• Beräkna argumentet för periapsis $\omega$ , som är vinkeln mellan periapsis och den stigande linjen:
  $${\begin{aligned}\cos(\omega )&={\frac {{\vec {n}}\cdot {\vec {e}}}{ne}}=\cos(360-\omega )\\\Rightarrow \omega &=\arccos \left({\frac {{\vec {n}}\cdot {\vec {e}}}{ne}}\right)=\omega _{0},{\text{ or }}\\\Rightarrow \omega &=360^{\circ }-\omega _{0},{\text{ if }}e_{K}<0,\\\end{aligned}}$$
  där $e_{K}$ är Z-koordinaten för ${\vec {e}}$ i referensramen.
• Beräkna den sanna anomalien $\nu$ vid epok, vilket är vinkeln mellan positionsvektorn och periapsis vid den speciella tidpunkten ('epok') för observation:
  $${\begin{aligned}\cos(\nu )&={\frac {{\vec {e}}\cdot {\vec {r}}}{er}}=\ cos(360-\nu )\\\Högerpil \nu &=\arccos \left({\frac {{\vec {e}}\cdot {\vec {r}}}{er}}\right)=\ nu _{0},{\text{ eller }}\\\Högerpil \nu &=360^{\circ }-\nu _{0},{\text{ if }}{\vec {r}}\ cdot {\vec {v}}<0.\\\end{aligned}}$$
  Tecknet för ${\vec {r}}\cdot {\vec {v}}$ kan användas för att kontrollera kvadranten av $\nu$ och korrigera $\arccos$ vinkel, eftersom den har samma tecken som flygvägsvinkeln $\phi$ . Och tecknet för flygbanan vinkeln är alltid positivt när ${\displaystyle \nu \in [0,180^{\circ }]} ,$ och negativt när $\nu \in [180^{\circ },360^{\circ }]$ . Båda är relaterade av $h=rv\sin(90-\phi )$ och ${\vec {r}}\cdot {\vec {v}}=rv\cos(90-\phi )=h\tan(\phi )$ .
• Alternativt kan vi beräkna argumentet för latitud $u=\omega +\nu$ vid epok, vilket är vinkeln mellan positionsvektorn och den stigande linjen vid den specifika tidpunkten:
  $${\begin{aligned}\cos(u)&={\frac {{\vec {n}}\cdot {\vec {r}}}{nr}}=\cos(360-u )\\\Rightarrow u&=\arccos \left({\frac {{\vec {n}}\cdot {\vec {r}}}{nr}}\right)=u_{0},{\text{ eller }}\\\Rightarrow u&=360^{\circ }-u_{0},{\text{ if }}r_{K}<0,\\\end{aligned}}$$
  där $r_{K}$ är Z-koordinaten för ${\vec {r}}$ i referensramen.

Vidare läsning

•   Curtis, H.; Orbital Mekanik för ingenjörsstudenter, kapitel 5; Elsevier (2005) ISBN 0-7506-6169-0 .
•   Taff, L.; Celestial Mechanics , kapitel 7, 8; Wiley-Interscience (1985) ISBN 0-471-89316-1 .
•   Bate, Mueller, White; Fundamentals of Astrodynamics , kapitel 2, 5; Dover (1971) ISBN 0-486-60061-0 .
•   Madonna, R.; Orbital Mechanics , Kapitel 3; Krieger (1997) ISBN 0-89464-010-0 .
•   Schutz, Tapley, Born; Statistical Orbit Determination , Academic Press. ISBN 978-0126836301
• Satellite Orbit Deermination , Coastal Bend College, Texas