Belevitchs teorem

Belevitchs teorem är en teorem inom analys av elektriska nätverk som beror på den rysk-belgiske matematikern Vitold Belevitch ( 1921–1999). Teoremet ger ett test för en given S-matris för att avgöra om den kan konstrueras som ett förlustfritt rationellt tvåportsnätverk eller inte .

Lossless innebär att nätverket endast innehåller induktanser och kapacitanser – inga resistanser . Rationell (vilket betyder att drivpunktsimpedansen Z ( p ) är en rationell funktion av p ) innebär att nätverket enbart består av diskreta element ( endast induktorer och kondensatorer - inga distribuerade element ).

Teoremet

För en given S-matris $\mathbf {S} (p)$ av graden $d$ ;

$\mathbf {S} (p)={\begin{bmatrix}s_{11}&s_{12}\\s_{21}&s_{22 }\end{bmatrix}}$

där,

p är den komplexa frekvensvariabeln och kan ersättas av $i\omega$ i fallet med stabila sinusvågssignaler , det vill säga där endast en Fourier-analys krävs

d kommer att motsvara antalet element (induktorer och kondensatorer) i nätverket, om ett sådant nätverk existerar.

Belevitchs teorem säger att $\scriptstyle \mathbf {S} (p)$ representerar ett förlustfritt rationellt nätverk om och endast om,

${\displaystyle \mathbf {S} (p)={\frac {1} {g(p)}}{\begin{bmatrix}h(p)&f(p)\\\pm f(-p)&\mp h(-p)\end{bmatrix}}} där$

,

$f(p)$ , $g(p)$ och $h(p)$ är riktiga polynom

$g(p)$ är ett strikt Hurwitz-polynom av grad som inte överstiger $d$

$g(p ) )g(-p)=f(p)f(-p)+h(p)h(-p)$ för alla $\scriptstyle p\,\in \,\mathbb {C}$ .

Bibliografi

•   Belevitch, Vitold Classical Network Theory , San Francisco: Holden-Day, 1968 OCLC 413916 .
•   Rockmore, Daniel Nahum; Healy, Dennis M. Modern Signal Processing , Cambridge: Cambridge University Press, 2004 ISBN 0-521-82706-X .