Baumgartners axiom

I matematisk mängdlära kan Baumgartners axiom (BA) vara ett av tre olika axiom som introducerats av James Earl Baumgartner .

En delmängd av den reella linjen sägs vara $\aleph _{1}$ - tät om varannan punkt skiljs åt med exakt $\aleph _{1}$ andra punkter, där $\aleph _{1}$ är den minsta oräkneliga kardinaliteten . Detta skulle vara sant för själva linjen under kontinuumhypotesen . Ett axiom introducerat av Baumgartner (1973) anger att alla $\aleph _{1}$ - täta delmängder av den reella linjen är ordningsisomorfa , vilket ger en analog med högre kardinalitet till Cantors isomorfismsats att räknebara täta delmängder är isomorf. Baumgartners axiom är en konsekvens av det korrekta forceringsaxiomet . Det överensstämmer med en kombination av ZFC , Martins axiom , och negationen av kontinuumhypotesen , men inte underförstått av dessa hypoteser.

Ett annat axiom introducerat av Baumgartner (1975) säger att Martins axiom för partiellt ordnade uppsättningar MA _P ( κ ) är sant för alla partiellt ordnade uppsättningar P som är räknebara slutna, väl uppfyllda och ℵ ₁ -länkade och alla kardinaler κ mindre än 2 ^{ℵ ₁} .

Baumgartners axiom A är ett axiom för partiellt ordnade mängder som introducerats i ( Baumgartner 1983, avsnitt 7). En partiell ordning ( P , ≤) sägs uppfylla axiom A om det finns en familj ≤ _n av partiella ordningar på P för n = 0, 1, 2, ... så att

1. ₀ ≤ är detsamma som ≤
2. Om p ≤ _{n +1} q så är p ≤ _n q
3. Om det finns en sekvens p _n med p _{n +1} ≤ _n p _n så finns det ett q med q ≤ _n p _n för alla n .
4. Om I är en parvis inkompatibel delmängd av P så finns det för alla p och för alla naturliga tal n ett q så att q ≤ _n p och antalet element av I som är kompatibla med q kan räknas.

• Baumgartner, James E. (1975), Generalizing Martin's axiom , opublicerat manuskript
•    Baumgartner, James E. (1983), "Iterated forcing" , i Mathias, ARD (red.), Surveys in set theory , London Math. Soc. Lecture Note Ser., vol. 87, Cambridge: Cambridge Univ. Press, s. 1–59, ISBN 0-521-27733-7 , MR 0823775
•     Kunen, Kenneth (2011), Mängdlära , Studies in Logic, vol. 34, London: College Publications, ISBN 978-1-84890-050-9 , MR 2905394 , Zbl 1262.03001