Kropp med konstant ljusstyrka
I konvex geometri är en kropp med konstant ljusstyrka en tredimensionell konvex uppsättning vars alla tvådimensionella projektioner har lika stor yta. En sfär är en kropp med konstant ljusstyrka, men andra finns. Kroppar med konstant ljusstyrka är en generalisering av kurvor med konstant bredd , men är inte samma sak som en annan generalisering, ytorna med konstant bredd .
Namnet kommer från att tolka kroppen som en lysande kropp med isotrop luminans , då skulle ett foto (med fokus i oändligheten) av kroppen taget från vilken vinkel som helst ha samma totala ljusenergi som träffar fotot.
Egenskaper
En kropp har konstant ljusstyrka om och bara om de reciproka Gaussiska krökningarna vid par av motsatta tangenspunkter för parallella stödplan har nästan-överallt-lika summor.
Enligt en analog till Barbiers teorem har alla kroppar med konstant ljusstyrka som har samma projicerade area som varandra också samma ytarea, . Detta kan bevisas med Crofton-formeln .
Exempel
Den första kända kroppen med konstant ljusstyrka som inte är en sfär konstruerades av Wilhelm Blaschke 1915. Dess gräns är en rotationsyta av en krökt triangel (men inte Reuleauxtriangeln ) . Den är slät utom på en cirkel och vid en isolerad punkt där den korsas av rotationsaxeln. Cirkeln separerar två fläckar av olika geometri från varandra: en av dessa två fläckar är ett sfäriskt lock , och det andra utgör en del av en fotboll , en yta av konstant Gaussisk krökning med en spetsig spets. Par av parallella stödplan till denna kropp har ett plan som tangerar en singulär punkt (med reciprok krökning noll) och det andra tangerar det ena av dessa två fläckar, som båda har samma krökning. Bland rotationskroppar med konstant ljusstyrka är Blaschkes form (även kallad Blaschke-Firey-kroppen) den med minimal volym, och sfären är den med maximal volym.
Ytterligare exempel kan erhållas genom att kombinera flera kroppar med konstant ljusstyrka med användning av Blaschke-summan , en operation på konvexa kroppar som bevarar egenskapen att ha konstant ljusstyrka.
Förhållande till konstant bredd
En kurva med konstant bredd i det euklidiska planet har en analog egenskap: alla dess endimensionella projektioner har lika långa. I denna mening är kropparna med konstant ljusstyrka en tredimensionell generalisering av detta tvådimensionella koncept, som skiljer sig från ytorna med konstant bredd .
Sedan Blaschkes arbete har det antagits att den enda formen som har både konstant ljusstyrka och konstant bredd är en sfär. Detta formulerades uttryckligen av Nakajima 1926, och det kom att bli känt som Nakajimas problem . Nakajima själv bevisade gissningen under det ytterligare antagandet att formens gräns är jämn. Ett bevis på hela gissningen publicerades 2006 av Ralph Howard.