Ballistisk pendel

En grön ballistisk pendel

Animation av en ballistisk pendel

En ballistisk pendel är en anordning för att mäta en kulas rörelsemängd , från vilken det är möjligt att beräkna hastighet och kinetisk energi . Ballistiska pendlar har till stor del gjorts föråldrade av moderna kronografer , som tillåter direkt mätning av projektilens hastighet.

Även om den ballistiska pendeln anses föråldrad, förblev den i bruk under en betydande tid och ledde till stora framsteg inom vetenskapen om ballistik . Den ballistiska pendeln finns fortfarande i fysikklassrum idag, på grund av dess enkelhet och användbarhet för att demonstrera egenskaper hos momentum och energi. Till skillnad från andra metoder för att mäta hastigheten på en kula kräver de grundläggande beräkningarna för en ballistisk pendel ingen tidsmätning, utan förlitar sig endast på mått på massa och avstånd.

Förutom dess primära användningsområden för att mäta hastigheten hos en projektil eller rekylen hos en pistol, kan den ballistiska pendeln användas för att mäta varje överföring av momentum. Till exempel användes en ballistisk pendel av fysikern CV Boys för att mäta elasticiteten hos golfbollar och av fysikern Peter Guthrie Tait för att mäta effekten som spinn hade på avståndet en golfboll färdades.

Historia

Ballistisk pendel (1911)

Den ballistiska pendeln uppfanns 1742 av den engelske matematikern Benjamin Robins (1707–1751), och publicerades i hans bok New Principles of Gunnery, som revolutionerade vetenskapen om ballistik, eftersom det var det första sättet att exakt mäta en kulas hastighet.

Robins använde den ballistiska pendeln för att mäta projektilens hastighet på två sätt. Det första var att fästa pistolen på pendeln och mäta rekylen . Eftersom pistolens rörelsemängd är lika med rörelsemängden för utkastet, och eftersom projektilen (i dessa experiment) var den stora majoriteten av utkastets massa, kunde kulans hastighet approximeras. Den andra och mer exakta metoden var att direkt mäta kulans rörelsemängd genom att avfyra den i pendeln. Robins experimenterade med muskötkulor på cirka ett uns i massa (28 g), medan andra samtida använde hans metoder med kanonskott på ett till tre pund (0,5 till 1,4 kg).

Robins originalverk använde en tung järnpendel , belagd med trä, för att fånga kulan. Moderna reproduktioner, som används som demonstrationer i fysikklasser, använder i allmänhet en tung vikt upphängd av en mycket fin, lätt arm, och ignorerar massan av pendelns arm. Robins tunga järnpendel tillät inte detta, och Robins matematiska tillvägagångssätt var något mer komplext. Han använde svängningsperioden och pendelns massa (båda mätt med kulan inkluderad) för att beräkna pendelns rotationströghet, som sedan användes i beräkningarna . Robins använde också en längd av band , löst gripen i en klämma, för att mäta pendelns rörelse. Pendeln skulle dra ut en längd av bandet lika med ackordet av pendelns rörelse.

Det första systemet att ersätta ballistiska pendlar med direkta mått på projektilens hastighet uppfanns 1808, under Napoleonkrigen och använde en snabbt roterande axel med känd hastighet med två pappersskivor på; kulan avfyrades genom skivorna, parallellt med axeln, och vinkelskillnaden i anslagspunkterna gav en förfluten tid över avståndet mellan skivorna. Ett direkt elektromekaniskt urverksmått dök upp 1848, med en fjäderdriven klocka som startas och stoppas av elektromagneter, vars ström avbröts av kulan som passerade genom två maskor av fina trådar, vilket återigen gav tid att korsa det givna avståndet.

Matematiska härledningar

De flesta läroböcker i fysik tillhandahåller en förenklad metod för beräkning av kulans hastighet som använder massan av kulan och pendeln och höjden på pendelns rörelse för att beräkna mängden energi och rörelsemängd i pendel- och kulsystemet. Robins beräkningar var betydligt mer involverade och använde ett mått på svängningsperioden för att bestämma systemets rotationströghet.

Enkel härledning

Vi börjar med kul-pendelsystemets rörelse från det ögonblick pendeln träffas av kulan.

Givet $g$ , accelerationen på grund av gravitationen, och $h$ , pendelns slutliga höjd, är det möjligt att beräkna initialhastigheten för kul-pendelsystemet med hjälp av bevarande av mekanisk energi (kinetik ) energi + potentiell energi). Låt denna initiala hastighet betecknas med $v_{1}$ . Antag att massan av kulan och pendeln är $m_{b}$ respektive $m_{p}$ .

Den initiala kinetiska energin för systemet $K_{initial}={\begin{matrix}{\frac {1}{ 2}}\end{matris}}(m_{b}+m_{p})\cdot v_{1}^{2}$

Med pendelns initiala höjd som potentiell energireferens $(U_{initial}=0)$ , den slutliga potentiella energin när kul-pendelsystemet stannar $(K_{final}=0)$ ges av $U_{final}= (m_{b}+m_{p})\cdot g\cdot h$

Så genom att bevara mekanisk energi har vi:

K_{initial}=U_{final}\,

{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(m_{b}+m_{p})\cdot v_{1}^{2 }=(m_{b}+m_{p})\cdot g\cdot h

Lös för hastighet för att få:

v_{1}={\sqrt {2\cdot g \cdot h}}

Vi kan nu använda momentumkonservering för kul-pendelsystemet för att få kulans hastighet, ${\displaystyle v_{0}} ,$ innan den träffade pendeln. Att likställa kulans rörelsemängd innan den träffar pendeln med kulan-pendelsystemet så fort kulan träffar pendeln (och använda $v_{1}={\sqrt { 2\cdot g\cdot h}}$ från ovan), får vi:

m_{\textrm {b}}\cdot v_{0}=(m_{\textrm {b}}+m_{\textrm {p}})\cdot {\sqrt {2\cdot g\cdot h}}

Löser för $v_{0}$ :

v_{0}={\frac {(m_{\textrm { b}}+m_{\textrm {p}})\cdot {\sqrt {2\cdot g\cdot h}}}{m_{\textrm {b}}}}=\left(1+{\frac { m_{\textrm {p}}}{m_{\textrm {b}}}}\right)\cdot {\sqrt {2\cdot g\cdot h}}

Provväska med luftpistol och luftgevär
Crosman 1377, kal. .177, pelletsvikt 0,5 gram, blockets vikt 45 gram
Crosman 1377, energi 10,6 joule (10 specificerade), mynningshastighet 206 meter per sekund
Ekol Ultimate, kal. .25, pelletsvikt 1,15 gram, blockets vikt 80 gram
Ekol Ultimate: energi 26,6 joule (30 specificerade), mynningshastighet 215 meter per sekund

Robins formel

Robins originalbok hade några utelämnade antaganden i formeln; till exempel inkluderade den inte en korrigering för att ta hänsyn till en kulnedslag som inte matchade pendelns massacentrum. En uppdaterad formel, med denna utelämnande korrigerad, publicerades i The Philosophical Transactions of the Royal Society året därpå. Den schweiziske matematikern Leonhard Euler , omedveten om denna korrigering, korrigerade självständigt detta utelämnande i sin kommenterade tyska översättning av boken. Den korrigerade formeln, som förekom i en 1786 års upplaga av boken, var:

v=614.58gc\cdot {\frac {p+b}{birn}}

var:

$v$ är kulans hastighet i enheter per sekund
$b$ är bollens massa
$p$ är pendelns massa
$g$ är avståndet från pivot till tyngdpunkten
$i$ är avståndet från pivot till punkten för bollens islag
$c$ är ackordet, mätt med bandet som beskrivs i Robins apparat
$r$ är radien, eller avståndet från tappen till bandets fäste
$n$ är antalet svängningar som pendeln gör på en minut

Robins använde fot för längd och uns för massa, även om andra enheter, såsom tum eller pund, kan ersättas så länge som konsistensen bibehålls.

Poissons formel

En rotationströghetsbaserad formel som liknar Robins härleddes av den franske matematikern Siméon Denis Poisson och publicerades i The Mécanique Physique , för att mäta kulhastigheten genom att använda pistolens rekyl:

mvcf=Mbk'{\sqrt {gh}}

var:

$m$ är kulans massa
$v$ är kulans hastighet
$c$ är avståndet från pivot till bandet
$f$ är avståndet från hålets axel till vridpunkten
$M$ är den kombinerade massan av pistol och pendel
$b$ är ackordet som mäts av bandet
$k'$ är radien från pivot till pistolens och pendelns masscentrum (mätt med oscillation, enligt Robins)
$g$ är gravitationsacceleration
$h$ är avståndet från pendelns massacentrum till pivoten

$k'$ kan beräknas med ekvationen:

T=\pi {\sqrt {\frac {k'^{2}}{gh}}}

Där $T$ är halva svängningsperioden.

Ackleys ballistiska pendel

PO Ackley beskrev hur man konstruerade och använde en ballistisk pendel 1962. Ackleys pendel använde en parallellogramkoppling, med en standardiserad storlek som möjliggjorde ett förenklat sätt att beräkna hastigheten.

Ackleys pendel använde pendelarmar på exakt 66,25 tum (168,3 cm) i längd, från lageryta till lageryta, och använde spännskruvar placerade i mitten av armarna för att ge ett sätt att ställa in armlängden exakt. Ackley rekommenderar massor för pendelkroppen även för olika kalibrar; 50 pund (22,7 kg) för rimfire upp genom .22 Hornet , 90 pund (40.9 kg) för .222 Remington till .35 Whelen och 150 pund (68.2 kg) för magnum gevärskalibrar. Pendeln är gjord av tungt metallrör, svetsad i ena änden och packad med papper och sand för att stoppa kulan. Pendelns öppna ände var täckt av ett gummiark för att kulan skulle kunna komma in och förhindra att material läcker ut.

För att använda pendeln är den inställd med en anordning för att mäta det horisontella avståndet för pendelsvängningen, till exempel en lätt stav som skulle tryckas bakåt av den bakre delen av pendeln när den rörde sig. Skytten sitter minst 15 fot (5 m) tillbaka från pendeln (vilket minskar effekterna av mynningssprängning på pendeln) och en kula skjuts in i pendeln. För att beräkna kulans hastighet givet den horisontella svängningen, används följande formel:

V={\frac {Mp}{Mb}}0,2018D

var:

$V$ är kulans hastighet, i fot per sekund
$Mp$ är pendelns massa, i korn
$Mb$ är kulans massa, i korn
$D$ är pendelns horisontella rörelse, i tum

För mer exakta beräkningar görs ett antal ändringar, både i konstruktionen och användningen av pendeln. Konstruktionsförändringarna innebär att man lägger till en liten låda ovanpå pendeln. Innan pendeln vägs fylls lådan med ett antal kulor av den typ som mäts. För varje skott som görs kan en kula tas ur lådan och på så sätt hålla pendelns massa konstant. Mätändringen innebär att man mäter pendelns period. Pendeln svängs, och antalet kompletta svängningar mäts över en lång tidsperiod, fem till tio minuter. Tiden divideras med antalet svängningar för att få perioden. När detta är gjort genererar formeln $C={\frac {pi}{T12}}$ en mer exakt konstant för att ersätta värdet 0,2018 i ovanstående ekvation. Precis som ovan beräknas kulans hastighet med formeln:

V={\frac {Mp}{Mb}}CD

Bibliografi

Benjamin Robins, James Wilson, Charles Hutton (1805). Nya principer för Gunnery . F. Wingrave.
"Ballistisk pendel" . Encyclopædia Britannica

externa länkar