Bärkoppling och krökning

Inom fysiken är Berry connection och Berry curvature relaterade begrepp som kan ses som en lokal mätpotential respektive mätfält associerat med Berry-fasen eller geometrisk fas. Konceptet introducerades först av S. Pancharatnam som geometrisk fas och senare utförligt förklarat och populariserat av Michael Berry i en artikel publicerad 1984 som betonade hur geometriska faser ger ett kraftfullt förenande koncept inom flera grenar av klassisk och kvantfysik .

Bärfas och cyklisk adiabatisk evolution

Inom kvantmekaniken uppstår Berry-fasen i en cyklisk adiabatisk evolution. Den kvantadiabatiska satsen gäller ett system vars Hamiltonska $H(\mathbf {R} )$ beror på en (vektor) parameter $\mathbf {R}$ som varierar med tiden ${\ displaystil t}$ . Om det $n$ 'th egenvärdet $\varepsilon _{n}(\mathbf {R} )$ förblir icke-degenererat överallt längs vägen och variationen med tiden t är tillräckligt långsam , sedan ett system initialt i det normaliserade egentillståndet $|n(\mathbf {R} (0))\rangle$ kommer att förbli i ett momentant egentillstånd $|n(\mathbf {R} (t))\rangle$ av Hamiltonian $H(\mathbf {R} (t))$ , upp till en fas, genom hela processen. Beträffande fasen kan tillståndet vid tidpunkten t skrivas som

$$|\Psi _{n}(t)\rangle =e^{i\gamma _{n}(t)}\,e^{-{i \över \ hbar }\int _{0}^{t}dt'\varepsilon _{n}(\mathbf {R} (t'))}\,|n(\mathbf {R} (t))\rangle ,$$

där den andra exponentiella termen är den "dynamiska fasfaktorn". Den första exponentiella termen är den geometriska termen, där $\gamma _{n}$ är Berry-fasen. Från kravet att $|\Psi _{n}(t)\rangle$ uppfyller den tidsberoende Schrödinger-ekvationen , kan det visas att

$$\gamma _{n}(t)=i\int _{0}^{t}dt'\,\langle n(\mathbf {R} (t'))|{ d \over dt'}|n(\mathbf {R} (t'))\rangle =i\int _{\mathbf {R} (0)}^{\mathbf {R} (t)}d\mathbf {R} \,\langle n(\mathbf {R} )|\nabla _{\mathbf {R} }|n(\mathbf {R} )\rangle ,$$

vilket indikerar att Berry-fasen endast beror på vägen i parameterutrymmet, inte på den hastighet med vilken vägen korsas.

I fallet med en cyklisk utveckling runt en sluten bana ${\mathcal {C}}$ så att $\mathbf {R} (T)=\mathbf {R} (0)$ , är Berry-fasen med stängd väg

$$\gamma _{n}=i\oint _{\mathcal {C}}d\mathbf {R} \,\langle n(\mathbf {R} )|\nabla _{\mathbf {R} } |n(\mathbf {R} )\rangle .$$

Ett exempel på ett fysiskt system där en elektron rör sig längs en stängd bana är cyklotronrörelse (detaljer ges på sidan av Berry phase ). Bärfas måste övervägas för att erhålla korrekt kvantiseringstillstånd.

Mättransformation

En mätomvandling kan utföras

$$|{\tilde {n}}(\mathbf {R} )\rangle =e^{-i\beta (\mathbf {R} )}|n(\mathbf {R} ) \rangle$$

till en ny uppsättning tillstånd som skiljer sig från de ursprungliga endast genom en $\mathbf {R}$ -beroende fasfaktor. Detta ändrar den öppna banan Berry-fasen till att vara ${\tilde {\gamma }}_{n}(t)= \gamma _{n}(t)+\beta (t)-\beta (0)$ . För en stängd bana kräver kontinuitet att $\beta (T)-\beta (0)=2\pi m$ ( $m$ ett heltal) , och det följer att $\gamma _{n}$ är invariant, modulo $2\pi$ , under en godtycklig gauge-transformation.

Bäranslutning

Den slutna banan Berry-fasen definierad ovan kan uttryckas som

$$\gamma _{n}=\int _{\mathcal {C}}d\mathbf {R} \cdot {\mathcal {A}}_{ n}(\mathbf {R} )$$

var

$${\mathcal {A}}_{n}(\mathbf {R} )=i\langle n(\mathbf {R} )|\nabla _{\mathbf {R} }| n(\mathbf {R} )\rangle$$

är en vektorvärderad funktion känd som bärförbindelsen (eller bärpotential). Berry-anslutningen är gauge-beroende och transformeras som ${\tilde {\mathcal {A}}}_{n}(\mathbf {R} )={\mathcal {A}}_{n}(\mathbf {R} )+\nabla _{\mathbf {R} \,}\beta (\mathbf {R} )$ . Därför kan den lokala Berry-anslutningen ${\mathcal {A}}_{n}(\mathbf {R} )$ aldrig vara fysiskt observerbar. Emellertid är dess integral längs en sluten bana, Berry-fasen $\gamma _{n}$ , mätinvariant upp till en heltalsmultipel av $2\pi$ . Således $e^{i\gamma _{n}}$ absolut mätinvariant och kan relateras till fysiska observerbara objekt.

Bärkrökning

Berry-kurvaturen är en antisymmetrisk andrarangstensor som härrör från Berry-anslutningen via

$$\Omega _{n,\mu \nu }(\mathbf {R} )={\partial \over \partial R^{\mu }}{\mathcal {A}}_{n,\nu } (\mathbf {R} )-{\partial \over \partial R^{\nu }}{\mathcal {A}}_{n,\mu }(\mathbf {R} ).$$

I ett tredimensionellt parameterutrymme kan Berry-kurvaturen skrivas i pseudovektorformen

$$\mathbf {\Omega } _{n}(\mathbf {R} )=\nabla _{\mathbf {R} }\times {\mathcal {A}}_{n}(\mathbf {R} ).$$

Tensor- och pseudovektorformerna för Berry-kurvaturen är relaterade till varandra genom Levi-Civita antisymmetriska tensor som $\Omega _{n,\mu \nu } =\epsilon _{\mu \nu \xi }\,\mathbf {\Omega } _{n,\xi }$ . I motsats till Berry-kopplingen, som är fysisk först efter att ha integrerats runt en stängd bana, är Berry-kurvaturen en mätinvariant lokal manifestation av de geometriska egenskaperna hos vågfunktionerna i parameterrummet, och har visat sig vara en väsentlig fysisk ingrediens för förstå en mängd olika elektroniska egenskaper.

För en sluten bana ${\mathcal {C}}$ som bildar gränsen för en yta ${\mathcal {S}}$ , kan den slutna banan Berry-fasen skrivas om med Stokes sats som

$$\gamma _{n}=\int _{\mathcal {S}}d\mathbf {S} \cdot \mathbf {\Omega } _{n}(\mathbf {R} ).$$

Om ytan är ett slutet grenrör försvinner gränstermen, men obestämbarheten för gränstermen modulo $2\pi$ manifesterar sig i Chern-satsen , som säger att integralen av Berry-krökningen över ett slutet grenrör kvantiseras i enheter om $2\pi$ . Detta nummer är det så kallade Chern-talet och är viktigt för att förstå olika kvantiseringseffekter.

Notera slutligen att Berry-kurvaturen också kan skrivas som en summa över alla andra egentillstånd i formuläret

$$\Omega _{n,\mu \nu }(\mathbf {R} )=i\sum _{n'\neq n}{\frac {1}{(\varepsilon _{n}-\varepsilon _{n'})^{2}}}{\left(\left\langle n\right|{\frac {\partial H}{\partial R_{\mu }}}\left|n'\right\ rangle \left\langle n'\right|{\frac {\partial H}{\partial R_{\nu }}}\left|n\right\rangle -\left\langle n\right|{\frac {\ partiell H}{\partial R_{\nu }}}\left|n'\right\rangle \left\langle n'\right|{\frac {\partial H}{\partial R_{\mu }}}\ vänster|n\höger\rangle \höger)}.$$

Exempel: Spinor i ett magnetfält

Hamiltonian för en spin-1/2-partikel i ett magnetfält kan skrivas som

$$H=\mu \mathbf {\sigma } \cdot \mathbf {B} ,$$

där $\mathbf {\sigma }$ betecknar Pauli-matriserna , $\mu$ är det magnetiska momentet och B är det magnetiska fältet. I tre dimensioner har egentillstånden energier $\pm \mu B$ och deras egenvektorer är

$$|u_{-}\rangle ={\begin{pmatrix}\sin {\theta \over 2}e^{-i\phi }\\-\cos {\theta \over 2}\end{pmatrix }},|u_{+}\rangle ={\begin{pmatrix}\cos {\theta \over 2}e^{-i\phi }\\\sin {\theta \over 2}\end{pmatrix} }.$$

Tänk nu på $|u_{-}\rangle$ tillstånd. Dess Berry-anslutning kan beräknas som ${\textstyle {\mathcal {A}}_{\theta }=\langle u_{-}|i{\frac {1}{r}}\partial _{\theta }|u_{- }\rangle =0,}$${\mathcal {A}}_{\phi }=\langle u_{-}|i{\tfrac {1}{r\sin {\theta }}}\partial _{\phi }|u_{-}\rangle ={\frac {\sin ^{2}{\theta \over 2}}{r\sin {\theta }}}$ och Bärkrökningen är $\ \Omega _{r}={\frac {1}{r\sin {\theta }}}[\partial _{\theta }({\mathcal {A}}_{\phi }\sin {\theta })-\partial _{\phi }{\mathcal {A}}_{\theta }]{\hat {r}}={\frac {1}{2r^{2}}}{\ hat {r}}.$ Om vi ​​väljer en ny mätare genom att multiplicera $|u_{-}\rangle$ av $e^{i\phi }$ (eller någon annan fas $e^{i\alpha \phi }$ , $\alpha \in \mathbb {R}$ ), Berry-anslutningarna är ${\mathcal {A}}_{\theta }=0$ och ${\mathcal {A}}_{\phi }=-{\frac {\cos ^{2}{\theta \over 2}}{r\sin {\ theta }}}$ medan bärkurvaturen förblir densamma. Detta överensstämmer med slutsatsen att Berry-kopplingen är gauge-beroende medan Berry-kurvaturen inte är det.

Bärkrökningen per rymdvinkel ges av ${\overline {\Omega }}_{\theta \phi }=\Omega _{\theta \phi }/\sin \theta =1/2$ . I det här fallet är Berry-fasen som motsvarar en given bana på enhetssfären ${\mathcal {S}}^{2}$ i magnetfältsrymden bara halva den rymda vinkeln som täcks av banan. Integralen av Berry-kurvaturen över hela sfären är därför exakt ${\displaystyle 2\pi } ,$ så att Chern-talet är enhet, i överensstämmelse med Chern-satsen.

Tillämpningar i kristaller

Bärfasen spelar en viktig roll i moderna undersökningar av elektroniska egenskaper hos kristallina fasta ämnen och i teorin om kvanthalleffekten . Periodiciteten hos den kristallina potentialen tillåter tillämpningen av Bloch-satsen , som säger att de Hamiltonska egentillstånden tar formen

$$\psi _{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} ),$$

där $n$ är ett bandindex, $\mathbf {k}$ är en vågvektor i det reciproka rymden ( Brillouin-zonen ), och $u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )$ är en periodisk funktion av $\mathbf {r}$ . Om man sedan låter $\mathbf {k}$ spela rollen av parametern $\mathbf {R}$ , kan man definiera Berry-faser, anslutningar och krökningar i det reciproka rummet. Till exempel är Berry-kopplingen i ömsesidigt utrymme

$${\mathcal {A}}_{n}(\mathbf {k} )=i\langle u_{n\mathbf {k} }|\nabla _{\mathbf {k} }|u_{n\ mathbf {k} }\rangle .$$

Eftersom Bloch-satsen också innebär att själva det reciproka utrymmet är stängt, med Brillouin-zonen med topologin av en 3-torus i tre dimensioner, kan kraven på att integrera över en sluten slinga eller grenrör lätt uppfyllas. På detta sätt kan sådana egenskaper som den elektriska polarisationen , orbitalmagnetiseringen , anomal Hall-konduktivitet och orbital magnetoelektrisk koppling uttryckas i termer av Berry-faser, anslutningar och krökningar .

externa länkar

• Kvantfasen, fem år efter. av M. Berry.
• Berry Phases and Curvatures in Electronic Structure Theory Ett föredrag av D. Vanderbilt.
• Bär-ologi, orbitala magnetoelektriska effekter och topologiska isolatorer - Ett föredrag av D. Vanderbilt.