Autoregressivt fraktionellt integrerat glidande medelvärde

I statistiken är autoregressiva fraktionellt integrerade glidande medelvärdemodeller tidsseriemodeller som generaliserar ARIMA- modeller ( autoregressivt integrerat glidande medelvärde ) genom att tillåta icke-heltalsvärden för differensparametern . Dessa modeller är användbara för att modellera tidsserier med långt minne - det vill säga, där avvikelser från det långa loppet innebär att förfalla långsammare än ett exponentiellt förfall. Förkortningarna "ARFIMA" eller "FARIMA" används ofta, även om det också är vanligt att helt enkelt utöka notationen "ARIMA( p , d , q )" för modeller, genom att helt enkelt tillåta skillnadsordningen, d , att ta bråkvärden .

Grunderna

I en ARIMA- modell inkluderar den integrerade delen av modellen differensoperatorn (1 − B ) (där B är backshift-operatorn ) upphöjd till en heltalspotens. Till exempel,

$(1-B)^{2}=1-2B+B^{2}\,,$

var

$B^{2}X_{t}=X_{t-2}\,,$

så att

$(1-B)^{2}X_{t}=X_{t}-2X_{t-1}+X_{t-2}.$

I en bråkmodell tillåts potensen vara bråkdel, med betydelsen av termen identifierad med hjälp av följande formella binomialserieexpansion

${\begin{aligned}(1-B)^{d}&=\summa _{k=0}^{\infty }\;{d \choose k}\;(-B)^{k }\\&=\sum _{k=0}^{\infty }\;{\frac {\prod _{a=0}^{k-1}(da)\ (-B)^{k} }{k!}}\\&=1-dB+{\frac {d(d-1)}{2!}}B^{2}-\cdots \,.\end{aligned}}$

ARFIMA(0; d ; 0)

Den enklaste autoregressiva fraktionsintegrerade modellen, ARFIMA(0, d , 0), är i standardnotation,

$(1-B)^{d}X_{t}=\varepsilon _{t},$

där detta har tolkningen

$X_{t}-dX_{t-1}+{\frac {d(d-1)}{2!}}X_{t-2}-\cdots =\varepsilon _{t}.$

ARFIMA(0, d , 0) liknar fraktionellt Gaussiskt brus (fGn): med d = H − 1 ⁄ 2 har deras kovarianser samma effektlagsavklingning. Fördelen med fGn framför ARFIMA(0, d ,0) är att många asymptotiska relationer gäller för finita sampel. Fördelen med ARFIMA(0, d ,0) jämfört med fGn är att den har en särskilt enkel spektral densitet —

$$f(\lambda )={\frac {1}{2\pi }}\left(2\sin \left( {\frac {\lambda }{2}}\right)\right)^{-2d}$$

—och det är ett speciellt fall av ARFIMA( p , d , q ), som är en mångsidig modellfamilj.

Allmän form: ARFIMA( p , d , q )

En ARFIMA-modell delar samma form av representation som ARIMA ( p , d , q )-processen, specifikt:

$\left(1-\sum _{i=1}^{p}\phi _{i}B^{i}\right)\left(1-B\right)^{d}X_{t }=\left(1+\summa _{i=1}^{q}\theta _{i}B^{i}\right)\varepsilon _{t}\,.$

tillåts "skillnadsparametern", d , ta icke-heltalsvärden.

Förbättring till vanliga ARMA-modeller

Förbättringen till vanliga ARMA-modeller är följande:

1. ta originaldataserier och högpassfiltrera den med bråkskillnad tillräckligt för att göra resultatet stationärt, och kom ihåg ordningen d av denna bråkdelsskillnad, d vanligtvis mellan 0 och 1 ... möjligen upp till 2+ i mer extrema fall. Bråkskillnad på 2 är 2:a derivatan eller 2:a skillnaden.
   • Obs: att tillämpa bråkdelsskillnad ändrar problemets enheter. Om vi ​​började med Priser så tar vi bråkdelar, vi är inte längre i Prisenheter.
   • att bestämma ordningen på skillnaderna för att göra en tidsserie stationär kan vara en iterativ, utforskande process.
2. beräkna vanliga ARMA-termer via de vanliga metoderna för att passa till denna stationära temporära datamängd som är i ersättningsenheter.
3. prognostisera antingen till befintliga data (statisk prognos) eller "ahead" (dynamisk prognos, framåt i tiden) med dessa ARMA-termer.
4. tillämpa den omvända filteroperationen (fraktionell integration till samma nivå d som i steg 1) på den prognostiserade serien, för att återställa prognosen till de ursprungliga problemenheterna (t.ex. vänd tillbaka ersatzenheterna till Pris).
   • Bråkdelsskillnad och bråkintegrering är samma operation med motsatta värden på d: t.ex. kan bråkskillnaden för en tidsserie till d = 0,5 inverteras (integreras) genom att tillämpa samma bråkdelsskillnadsoperation (igen) men med bråkdelen d = -0,5 . Se GRETL fracdiff-funktion: http://gretl.sourceforge.net/gretl-help/funcref.html#fracdiff

Poängen med förfiltreringen är att reducera låga frekvenser i datamängden vilket kan orsaka icke-stationariteter i datan, vilka icke-stationariteter ARMA-modeller inte kan hantera bra (eller alls)... men bara tillräckligt för att reduktionerna ska kan återställas efter att modellen har byggts.

Bråkdelsdifferentiering och fraktionerad integration med omvänd operation (båda riktningarna används i ARFIMA-modellerings- och prognosprocessen) kan betraktas som digitala filtrerings- och "avfiltreringsoperationer". Som sådan är det användbart att studera frekvenssvaret för sådana filter för att veta vilka frekvenser som behålls och vilka som är dämpade eller kasserade, nämligen: https://github.com/diffent/fracdiff/blob/master/freqrespfracdiff.pdf

Observera att all filtrering som skulle ersätta bråkdelsdifferentiering och integration i denna AR(FI)MA-modell bör vara inverterbar på samma sätt som differens och integration (summering) för att undvika informationsförlust. T.ex. ett högpassfilter som helt kasserar många låga frekvenser (till skillnad från det fraktionella särskiljande högpassfiltret som bara helt kasserar frekvens 0 [konstant beteende i insignalen] och bara dämpar andra låga frekvenser, se ovan PDF) kanske inte fungerar så bra, eftersom efter att ha anpassat ARMA-termer till den filtrerade serien, skulle den omvända operationen för att återföra ARMA-prognosen till dess ursprungliga enheter inte kunna återförstärka de dämpade låga frekvenserna, eftersom de låga frekvenserna sänktes till noll.

Sådana frekvenssvarsstudier kan föreslå andra liknande familjer av (reversibla) filter som kan vara användbara ersättningar för "FI"-delen av ARFIMA-modelleringsflödet, såsom det välkända, lätta att implementera och minimalt distorsion högpass-butterworth-filtret eller liknande: https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-319-55789-2_13

Se även

• Bråkkalkyl — bråkdifferentiering
• Differintegral — fraktionerad integration och differentiering
• Fraktionerad Brownsk rörelse — en stokastisk process i kontinuerlig tid med en liknande grund
• Långtidsberoende

Anteckningar

• Granger, CWJ ; Joyeux, R. (1980). "En introduktion till tidsseriemodeller med lång minne och bråkdelsskillnad". Journal of Time Series Analysis . 1 :15–30. doi : 10.1111/j.1467-9892.1980.tb00297.x .
• Hosking, JRM (1981). "Bråkskillnad". Biometrika . 68 (1): 165–176. doi : 10.1093/biomet/68.1.165 .
•   Robinson, PM (2003). Tidsserie med långt minne . Oxford University Press. ISBN 0-19-925729-9 .