Automedian triangel

En automedian triangel (svart) med sidolängder i proportionen 13:17:7, dess tre medianer (brun) och en triangel som liknar den ursprungliga vars sidor är översatta kopior av medianerna

I plan geometri är en automedian triangel en triangel där längderna på de tre medianerna (linjesegmenten som förbinder varje vertex till mittpunkten på den motsatta sidan) är proportionella mot längderna på de tre sidorna, i en annan ordning. De tre medianerna i en automedian triangel kan översättas för att bilda sidorna av en andra triangel som liknar den första.

Karakterisering

Sidlängderna för en automedian triangel uppfyller formeln $2a^{2}=b^{2}+c^{2}$ eller en permutation därav, analogt med Pythagoras sats karakterisera rätvinkliga trianglar som de trianglar som uppfyller formeln $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ . På motsvarande sätt, för att de tre talen $a$ , $b$ och $c$ ska vara sidorna av en automedian triangel, sekvensen av tre kvadratiska sidolängder $b^{2}$ , $a^{2}$ och $c^{2}$ bör bilda en aritmetisk progression .

Konstruktion från räta trianglar

Om $x$ , $y$ och $z$ är de tre sidorna av en rätvinklig triangel, sorterade i ökande ordning efter storlek, och om $2x<z$ , sedan är $z$ , $x+y$ och $yx$ de tre sidorna av en automedian triangel. Till exempel kan den räta triangeln med sidlängderna 5, 12 och 13 användas för att på detta sätt bilda en automedian triangel med sidolängderna 13, 17 och 7.

Villkoret att $2x<z$ är nödvändigt: om det inte var uppfyllt, då de tre siffrorna ${\displaystyle a=z} ,$ b $\displaystyle b=x+ y}$ , och $c=yx$ skulle fortfarande uppfylla ekvationen $2a^{2}=b^{2}+c^{2}$ som kännetecknar automediantrianglar, men de skulle inte tillfredsställa triangelolikheten och kunde inte användas för att bilda sidorna i en triangel.

Följaktligen, med hjälp av Eulers formel som genererar primitiva Pythagoras trianglar är det möjligt att generera primitiva heltals automediantrianglar (dvs utan att sidorna delar någon gemensam faktor) som

$${\begin{aligned}a&=m^{2}+n^{2}\\b&=m^{2}+2mn-n^{2}\\c&=|m^{2}- 2mn-n^{2}|\\\end{aligned}}$$

med $m$ och $n$ coprime, $m+n$ udda, och för att tillfredsställa triangelolikheten $n<m<n{\ sqrt {3}}$ (om kvantiteten inuti absolutvärdetecknen är negativ) eller $m>(2+{\sqrt {3}})n$ (om den kvantiteten är positiv). Sedan hittas denna triangels medianer ${\displaystyle t_{a},t_{b},t_{c}} genom att använda ovanstående uttryck för dess sidor i den allmänna$ formeln för medianer :

$$t_{a}={\sqrt {\frac {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}}}={\frac { a{\sqrt {3}}}{2}},\qquad t_{b}={\sqrt {\frac {2a^{2}+2c^{2}-b^{2}}{4}} }={\frac {c{\sqrt {3}}}{2}},\qquad t_{c}={\sqrt {\frac {2a^{2}+2b^{2}-c^{2 }}{4}}}={\frac {b{\sqrt {3}}}{2}},$$

$2a^{2}=b^{2}+c^{2}.$ det automediandraget

Av detta kan man se likhetsförhållandena

$${\frac {t_{a}}{t_{b}}}={\frac {a}{c}},\qquad {\frac {t_{b}}{t_{c}}}= {\frac {c}{b}},\qquad {\frac {t_{c}}{t_{a}}}={\frac {b}{a}}\qquad {\text{och därmed}} \qquad t_{a}:t_{b}:t_{c}\quad =\quad a:c:b.$$

Det finns en primitiv heltalssidig automediantriangel som inte genereras från en rätvinklig triangel: nämligen den liksidiga triangeln med sidor av enhetslängd.

Exempel

Det finns 18 primitiva automediantrianglar, som visas här som trianglar av sidor $(a,b,c)$ , med $b\leq 200$ :

(1, 1, 1)	(13, 17, 7)	(17, 23, 7)	(25, 31, 17)	(37, 47, 23)	(41, 49, 31)
(61, 71, 49)	(65, 79, 47)	(85, 97, 71)	(85, 113, 41)	(89, 119, 41)	(101, 119, 79)
(113, 127, 97)	(125, 161, 73)	(145, 161, 127)	(145, 167, 119)	(149, 191, 89)	(181, 199, 161)

Till exempel är (26, 34, 14) inte en primitiv automedian trippel, eftersom den är en multipel av (13, 17, 7) och inte visas ovan.

Ytterligare egenskaper

Om $\Delta (a,b,c)$ är arean av den automedian triangeln, enligt Herons formel $\Delta (t_{a},t_{b},t_{c})=(3/4)\Delta (a,b,c).$

Euler -linjen i en automedian triangel är vinkelrät mot medianen på sidan a { $displaystyle a}$ .

Om medianerna för en automedian triangel sträcks ut till triangelns omslutande cirkel , så bildar de tre punkterna $LMN$ där de förlängda medianerna möter den omslutna cirkeln en likbent triangel . Trianglarna för vilka denna andra triangel $LMN$ är likbent är exakt de trianglar som själva är antingen likbenta eller automediana. Denna egenskap hos automediantrianglar står i kontrast till Steiner–Lehmus-satsen , enligt vilken de enda trianglarna vars två vinkelhalveringslinjer har lika långa är de likbenta trianglarna.

Anta dessutom att $ABC$ är en automedian triangel, där vertex $A$ står mittemot sidan $a$ . Låt $G$ vara punkten där de tre medianerna för $ABC$ skär varandra, och låt $AL$ vara en av de utökade medianerna för $ABC$ , med $L$ liggande på omkretsen av $ABC$ . Då $BGCL$ ett parallellogram , de två trianglarna $BGL$ och $CLG$ som den kan delas in i liknar båda $ABC$ , $G$ är mittpunkten av $AL$ , och Eulerlinjen i triangeln är den vinkelräta bisektaren till $AL$ .

När man genererar en primitiv automedian triangel från en primitiv pytagoreisk trippel med hjälp av de euklidiska parametrarna ${\displaystyle m,n} ,$ sedan $m>n$ och det följer att $b \geq a\geq c$ . Eftersom icke-primitiva automediantrianglar är multiplar av sina primitiver, gäller sidornas olikheter för alla automediantrianglar med heltal. Jämlikhet förekommer endast för triviala liksidiga trianglar. Dessutom, eftersom $m+n$ alltid är udda, måste alla sidor $a,b,c$ vara udda. Detta faktum tillåter att automediantrippel endast har sidor och omkrets av primtal. Till exempel, (13, 17, 7) har omkrets 37.

Eftersom i en primitiv automedian triangelsida är $a$ summan av två kvadrater och lika med hypotenusan för den genererande primitiva Pythagoras trippel, är den endast delbar med primtal som är kongruenta med 1 (mod 4). Följaktligen måste ${\displaystyle a} vara kongruent med 1 (mod 4).$

På liknande sätt, eftersom sidorna är relaterade med $2a^{2}=b^{2}+c^{2}$ , var och en av sidorna $b$ och $c$ i den primitiva automedianen är skillnaden mellan två gånger en kvadrat och en kvadrat. De är också summan och skillnaden mellan benen på en primitiv pythagoras trippel. Detta begränsar $b$ och $c$ att endast vara delbara med primtal kongruenta med ±1 (mod 8). Följaktligen $b$ och $c$ vara kongruenta med ±1 (mod 8).

Historia

Studiet av heltalskvadrater i aritmetisk progression har en lång historia som sträcker sig tillbaka till Diophantus och Fibonacci ; det är nära förknippat med congrua , som är de tal som kan vara skillnaderna mellan kvadraterna i en sådan progression. Men sambandet mellan detta problem och automediantrianglar är mycket nyare. Problemet med att karakterisera automediantrianglar ställdes i slutet av 1800-talet i Educational Times (på franska) av Joseph Jean Baptiste Neuberg och löstes där med formeln $2a^{2} =b^{2}+c^{2}$ av William John Greenstreet .

Speciella fall

Bortsett från de triviala fallen av liksidiga trianglar, är triangeln med sidlängderna 17, 13 och 7 den minsta (efter area eller omkrets) automediantriangel med heltalssida.

Det finns bara en automedian rätvinklig triangel, triangeln med sidolängder proportionella mot 1, kvadratroten ur 2 och kvadratroten ur 3 . Denna triangel är den andra triangeln i Theodorus spiral . Det är den enda räta triangeln där två av medianerna är vinkelräta mot varandra.

Se även

• mediantriangeln
• Heltalstriangel
• Keplertriangel , en rätvinklig triangel där de kvadratiska kantlängderna bildar en geometrisk progression istället för en aritmetisk progression

externa länkar

• Automedian trianglar och magiska kvadrater KS Browns matematiksidor