Artin–Verdier dualitet

Inom matematik är Artin-Verdier-dualitet en dualitetssats för konstruerbara abeliska skivor över spektrumet av en ring av algebraiska tal , introducerad av Michael Artin och Jean-Louis Verdier ( 1964 ) , som generaliserar Tate-dualitet .

Den visar att, vad gäller etale (eller platt) kohomologi, beter sig ringen av heltal i ett talfält som ett tredimensionellt matematiskt objekt .

Påstående

Låt X vara spektrumet av ringen av heltal i ett helt imaginärt talfält K , och F en konstruerbar étale abelsk bunt på X . Sedan Yoneda-paret

$H^{r}(X,F)\times \operatorname { Ext} ^{3-r}(F,\mathbb {G} _{m})\till H^{3}(X,\mathbb {G} _{m})=\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$

är ett icke-degenererat par av finita abelska grupper, för varje heltal r .

Här är Hr ^är ( X,F ) den r -th étale kohomologigruppen i schemat X med värden i F, och Ext ^r ( F,G ) gruppen av r - förlängningar av étale-kärven G av étale-kärven F i kategorin étale abeliska kärvar på X. Dessutom betecknar G _m etale bunt av enheter i strukturkärven av X.

Christopher Deninger ( 1986 ) bevisade Artin-Verdier-dualitet för konstruerbara, men inte nödvändigtvis torsionsskivor. För en sådan kärva F inducerar ovanstående parning isomorfismer

${ \displaystyle {\begin{aligned}H^{r}(X,F)^{*}&\cong \operatorname {Ext} ^{3-r}(F,\mathbb {G} _{m})&&r =0,1\\H^{r}(X,F)&\cong \operatörsnamn {Ext} ^{3-r}(F,\mathbb {G} _{m})^{*}&&r=2 ,3\end{aligned}}}$

var

$(-)^{*}=\operatörsnamn {Hom} (-,\mathbb {Q} /\mathbb {Z} ).$

Finita platta gruppscheman

Låt U vara ett öppet delschema av spektrumet av ringen av heltal i ett talfält K , och F ett ändligt platt kommutativt gruppschema över U . Då koppprodukten en icke-degenererad parning

$H^{r}(U,F^{D}) \times H_{c}^{3-r}(U,F)\till H_{c}^{3}(U,{\mathbb {G} }_{m})=\mathbb {Q} /\ mathbb {Z}$

av finita abelska grupper, för alla heltal r .

Här betecknar F ^D Cartier-dualen av F , vilket är ett annat ändligt platt kommutativt gruppschema över U . Dessutom $H^{r}(U,F)$ den r -te platta kohomologigruppen i schemat U med värden i den platta abelska kärven F , och $H_{c}^{r}(U,F)$ är den r -:e platta kohomologin med kompakta stöd av U med värden i den platta abelska kärven F.

Den platta kohomologin med kompakta stöd är definierad för att ge upphov till en lång exakt sekvens

$\cdots \ till H_{c}^{r}(U,F)\till H^{r}(U,F)\till \bigoplus \nolimits _{v\notin U}H^{r}(K_{v}, F)\till H_{c}^{r+1}(U,F)\till \cdots$

Summan tas över alla platser av K , som inte finns i U , inklusive de arkimediska. Det lokala bidraget H ^r ( K _v , F ) är Galois - kohomologin för Henselization K _v av K på platsen v , modifierad a la Tate :

$H^{r}(K_{v},F)=H_{T}^{r}(\mathrm {Gal} (K_{v}^{s}/K_{v}),F(K_ {v}^{s})).$

Här är $K_{v}^{s}$ en separerbar stängning av $K_{v}.$

• Artin, Michael ; Verdier, Jean-Louis (1964), "Seminar on étale cohomology of number fields", Föreläsningsanteckningar utarbetade i samband med de seminarier som hölls vid sommarinstitutet om algebraisk geometri. Whitney gods, Woods Hole, Massachusetts. 6 juli – 31 juli 1964 (PDF) , Providence, RI: American Mathematical Society , arkiverad från originalet (PDF) 2011-05-26
•   Deninger, Christopher (1986), "An extension of Artin-Verdier duality to nontorsion sheaves", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 366 : 18–31, doi : 10.1515/crll.1986.366.18 , MR 083301
•    Mazur, Barry (1973), "Notes on étale cohomology of number fields" , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 6 : 521–552, ISSN 0012-9593 , MR 0344254
•   Milne, James S. (2006), Arithmetic duality theorems (andra upplagan), BookSurge, LLC , s. viii+339, ISBN 1-4196-4274-X