Arkimedes fyrlingar

Var och en av Arkimedes fyrlingar (gröna) har lika stor yta som varandra och med Arkimedes tvillingcirklar

I geometri är Arkimedes fyrlingar fyra kongruenta cirklar associerade med en arbelos . Introducerad av Frank Power sommaren 1998, var och en har samma område som Arkimedes tvillingcirklar , vilket gör dem till Arkimedeska cirklar .

Konstruktion

En arbelos bildas av tre kolinjära punkter A , B och C , av de tre halvcirklarna med diametrarna AB , AC och BC . Låt de två mindre cirklarna ha radier r ₁ och r ₂ , av vilka det följer att den större halvcirkeln har radien r = r ₁ + r ₂ . Låt punkterna D och E vara mittpunkten respektive mittpunkten av halvcirkeln med radien r ₁ . Låt H vara mittpunkten på linjen AC . Då tangerar två av de fyra fyrlingcirklarna linjen HE i punkten E , och tangerar också den yttre halvcirkeln. De andra två fyrdubbla cirklarna bildas på ett symmetriskt sätt från halvcirkeln med radien r ₂ .

Bevis på överensstämmelse

Enligt påstående 5 i Arkimedes Lemmas bok är den gemensamma radien för Arkimedes tvillingcirklar:

${\frac {r_{1}\cdot r_{2}}{r}}.$

Enligt Pythagoras sats :

$\left(HE\right)^{2}=\left(r_{1}\right)^{2}+\left(r_{2}\right)^{2}.$

Skapa sedan två cirklar med centrum J _i vinkelräta mot HE , som tangerar den stora halvcirkeln vid punkten L _i , som tangerar punkten E , och med lika radier x . Med hjälp av Pythagoras sats :

$\left(HJ_{i}\right)^{2}=\left (HE\höger)^{2}+x^{2}=\left(r_{1}\right)^{2}+\left(r_{2}\right)^{2}+x^{2 }$

Också:

$HJ_{i}=HL_{i}-x=rx=r_{1}+r_{2}-x~$

Att kombinera dessa ger:

$\left(r_{1}\right)^{2}+\left(r_{2} \right)^{2}+x^{2}=\left(r_{1}+r_{2}-x\right)^{2}$

Expandera, samla åt ena sidan och faktorisera:

$2r_{1}r_{2}-2x\left(r_{1}+r_{2}\right)=0$

Lösa för x :

$x={\frac {r_{1}\cdot r_{2}}{r_{1}+r_{2}} }={\frac {r_{1}\cdot r_{2}}{r}}$

Bevisar att var och en av Arkimedes fyrlingars områden är lika med var och en av Arkimedes tvillingcirklars områden.

Fler läsningar

•   Arbelos: Lemmas bok, Pappus kedja, Arkimedes cirkel, Arkimedes fyrlingar, Arkimedes tvillingcirklar, Bankoff cirkel, S. ISBN 1156885493