Apollonius punkt

I euklidisk geometri är Apollonius pekar ett triangelcentrum betecknat som X (181) i Clark Kimberlings Encyclopedia of Triangle Centers (ETC). Den definieras som samstämmighetspunkten för de tre linjesegmenten som förenar varje vertex i triangeln med de tangenspunkter som bildas av den motsatta cirkeln och en större cirkel som tangerar alla tre cirklarna .

I litteraturen har termen " Apollonius-punkter " också använts för att referera till de isodynamiska punkterna i en triangel. Denna användning kan också motiveras med att de isodynamiska punkterna är relaterade till de tre apolloniska cirklarna som är förknippade med en triangel.

Lösningen av Apollonius-problemet har varit känd i århundraden. Men Apollonius-punkten noterades först 1987.

Definition

Förlängda sidor av triangeln

△ ABC

Cirklar

E A, E B, E C

Apollonius cirkel av

△ ABC

Linjerna

AA', BB', CC'

: överensstämmer vid Apollonius-punkten

Apolloniuspunkten i en triangel definieras enligt följande.

Låt

△ ABC

vara en given triangel. Låt cirklarna för

△ ABC

mittemot hörnen

A, B, C

vara

E A, E B, E C

respektive. Låt

E

vara cirkeln som berör de tre cirklarna

E A, E B, E C

så att de tre cirklarna är inom

E

. Låt

A', B', C'

vara kontaktpunkterna för cirkeln

E

med de tre cirklarna. Linjerna

AA', BB', CC'

är samtidiga . Punkten för samstämmighet är Apollonius-punkten för

△ ABC

.

Apolloniusproblemet är problemet med att konstruera en cirkel som tangerar tre givna cirklar i ett plan. I allmänhet finns det åtta cirklar som rör tre givna cirklar. Cirkeln $E$ som hänvisas till i definitionen ovan är en av dessa åtta cirklar som rör de tre cirklarna i triangeln $△ ABC$ . I Encyclopedia of Triangle Centers kallas cirkeln $E för$ Apollonius-cirkeln av $△ ABC$ .

Trilinjära koordinater

Apolloniuspunktens trilinjära koordinater är

{\frac {a(b+c )^{2}}{b+ca}}:{\frac {b(c+a)^{2}}{c+ab}}:{\frac {c(a+b)^{2}} {a+bc}}

=\sin ^{2}A\cos ^{2}\left({\frac {B}{2}}-{\frac {C}{2}}\right):\sin ^{2 }B\cos ^{2}\left({\frac {C}{2}}-{\frac {A}{2}}\right):\sin ^{2}C\cos ^{2}\ vänster({\frac {A}{2}}-{\frac {B}{2}}\höger).

Se även

Apollonius' teorem
Apollonius av Perga (262–190 f.Kr.), geometer och astronom
Apollonius problem
Apolloniska kretsar
Isodynamisk punkt i en triangel