Angenent torus
I differentialgeometri är den Angenent-torus en slät inbäddning av torusen i tredimensionellt euklidiskt utrymme , med egenskapen att den förblir självlik när den utvecklas under medelkurvaturflödet . Dess existens visar att, till skillnad från det endimensionella kurvförkortande flödet (för vilket varje inbäddad sluten kurva konvergerar till en cirkel när den krymper till en punkt), har det tvådimensionella medelkurvaturflödet inbäddade ytor som bildar mer komplexa singulariteter som de kollapsar.
Historia
Angenent torus är uppkallad efter Sigurd Angenent , som publicerade ett bevis på att den existerar 1992. Men redan 1990 skrev Gerhard Huisken att Matthew Grayson hade berättat för honom om "numeriska bevis" för dess existens.
Existens
För att bevisa existensen av Angenent torus, hävdar Angenent först att det borde vara en yta av revolution . Vilken yta som helst kan beskrivas med dess tvärsnitt, en kurva på ett halvplan (där halvplanets gränslinje är ytans rotationsaxel). I enlighet med Huiskens idéer definierar Angenent en riemannisk metrik på halvplanet, med egenskapen att geodesiken för denna metrik är exakt tvärsnitten av rotationsytor som förblir sig själva och kollapsar till ursprunget efter en tidsenhet . Detta mått är mycket ojämnt, men det har en reflektionssymmetri, vars symmetriaxel är halvlinjen som går genom origo vinkelrätt mot halvplanets gräns.
Genom att överväga beteendet hos geodetik som passerar vinkelrätt genom denna axel av reflektionssymmetri, på olika avstånd från origo, och tillämpa mellanvärdessatsen , hittar Angenent en geodetik som passerar genom axeln vinkelrätt vid en andra punkt. Denna geodetik och dess reflektion förenas för att bilda en enkel sluten geodetik för metriken på halvplanet. När denna slutna geodetik används för att göra en rotationsyta, bildar den Angenent torus.
Andra geodetik leder till andra ytor av revolution som förblir sig självlika under medelkurvaturflödet, inklusive sfärer, cylindrar, plan och (enligt numeriska bevis men inte rigorösa bevis) nedsänkta topologiska sfärer med flera självkorsningar. Kleene & Møller (2014) bevisar att de enda fullständiga släta inbäddade rotationsytorna som förblir sig själva under medelkurvaturflödet är plan, cylindrar, sfärer och topologiska tori. De gissar starkare att Angenent torus är den enda torus med denna egenskap.
Ansökningar
Angenent torus kan användas för att bevisa förekomsten av vissa andra typer av singulariteter för medelkurvaturflödet. Till exempel, om en hantelformad yta, bestående av en tunn cylindrisk "hals" som förbinder två stora volymer, kan ha sin hals omgiven av en disjunkt Angenent torus, så kommer de två rotationsytorna att förbli osammanhängande under medelkurvaturflödet tills en av de når en singularitet; om ändarna på hanteln är tillräckligt stora, innebär detta att halsen måste nypa av, separera de två sfärerna från varandra, innan torusen som omger halsen kollapsar.
Besläktade former
Varje form som förblir sig självlik men krymper under medelkurvaturflödet bildar en uråldrig lösning på flödet, en som kan extrapoleras bakåt för all framtid. Det omvända är dock inte sant. I samma tidning, där han publicerade Angenent torus, beskrev Angenent också Angenent-ovalerna; dessa är inte sig själva lika, men de är de enda enkla stängda kurvorna i planet, förutom en cirkel, som ger gamla lösningar på det kurvförkortande flödet .
externa länkar
- Angenent's torus , visualisering av Dongsun Lee från UNIST Mathematical Sciences