Alternativ på realiserad avvikelse

Inom finans är en option på realiserad varians (eller variansoption ) en typ av variansderivat som är de derivatvärden på vilka utdelningen beror på den årliga realiserade variansen av avkastningen för en specificerad underliggande tillgång, såsom aktieindex, obligation, växelkurs etc. Ett annat likviderat värdepapper av samma typ är variansswap , som med andra ord är terminskontraktet på realiserad varians.

Med en liknande uppfattning som vaniljoptionerna ger variansoptioner ägaren en rätt men utan skyldighet att köpa eller sälja den realiserade avvikelsen i utbyte mot något överenskommet pris (variansstrik) någon gång i framtiden (förfallodatum), förutom att riskexponeringen är enbart utsatt för prisavvikelsen i sig. Den här egenskapen vinner intresse bland handlare eftersom de kan använda den som ett instrument för att spekulera i den framtida rörelsen av tillgångens volatilitet för att till exempel deltasäkra en portfölj, utan att ta en riktningsrisk att äga den underliggande tillgången.

Definitioner

I praktiken definieras den årliga realiserade variansen av summan av kvadraten av diskret urvalsloggavkastning för den specificerade underliggande tillgången. Med andra ord, om det finns $n+1$ samplingspunkter för de underliggande priserna, säger $S_{t_{0}},S_{ t_{2}},\dots ,S_{t_{n}}$ observerade vid tidpunkten $t_{i}$ där $0\leq t_{i -1}<t_{i}\leq T$ för alla $i\in \{1,\dots ,n\}$ , sedan den realiserade variansen betecknad med $RV_{d}$ värderas av formen

RV_{d}:={\frac {A}{n}}\sum _{i= 1}^{n}\ln ^{2}{\Big (}{\frac {S_{t_{i}}}{S_{t_{i-1}}}}{\Big )}

var

$A$ är en årlig faktor som normalt väljs till $A=252$ om priset övervakas dagligen, eller $A=52$ eller $A =12$ vid vecko- respektive månadsobservation och
$T$ är alternativens utgångsdatum som är lika med antalet $n/{A}.$

Om man sätter

$K_{\text{var}}^{C}$ för att vara en variansstrik och
$L$ är ett teoretiskt belopp som omvandlar utbetalningarna till en enhetsbelopp, t.ex. USD eller GBP,

sedan utbetalningar vid utgången för samtalet och säljoptionerna skrivna på $RV_{d}$ (eller bara varians call och put) är

(RV_{d}-K_{\text{var}}^{C})^{+}\ gånger L

och

(K_{\text{var}}^{C}-RV_{d})^{+}\ gånger L

respektive.

Observera att den årliga realiserade variansen också kan definieras genom kontinuerlig sampling, vilket resulterade i kvadratisk variation av det underliggande priset. Det vill säga, om vi antar att $\sigma (t)$ bestämmer den momentana volatiliteten i prisprocessen, då

RV_{c}:={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\sigma ^{2 }(s)ds

definierar den årliga realiserade variansen med kontinuerligt urval som också bevisas vara gränsen för sannolikheten för den diskreta formen, dvs.

{\ displaystyle \lim _{n\to \infty }RV_{d}=\lim _{n\to \infty }{\frac {A}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln ^{2}{\Big (}{\frac {S_{t_{i}}}{S_{t_{i-1}}}}{\Big )}={\frac {1}{T}}\ int _{0}^{T}\sigma ^{2}(s)ds=RV_{c}}

.

Detta tillvägagångssätt används dock endast för att approximera den diskreta eftersom de kontrakt som involverar realiserade avvikelser praktiskt taget citeras i termer av det diskreta urvalet.

Prissättning och värdering

Antag att under ett riskneutralt mått $\mathbb {Q}$ det underliggande tillgångspriset $S=(S_{t})_{0\leq t\ leq T}$ löser den tidsvarierande Black–Scholes- modellen enligt följande:

{\frac {dS_{t}}{S_{t}}}=r(t)\,dt+ \sigma (t)\,dW_{t},\;\;S_{0}>0

var:

$r(t)\in \mathbb {R}$ är (tidsvarierande) riskfri ränta,
$\sigma (t)>0$ är (tidsvarierande) prisvolatilitet, och
$W=(W_{t})_{0\leq t\leq T}$ är en Brownsk rörelse under det filtrerade sannolikhetsutrymmet ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {F} ,\mathbb {Q} )} där F$ = $displaystyle \mathbb {F} =({ \mathcal {F}}_{t})_{0\leq t\leq T}}$ är den naturliga filtreringen av $W$ .

ฺ Genom den här inställningen, i fallet med variansanrop, dess rimliga pris vid tidpunkten $t_{0}$ betecknad med $C_{t_{0}}^{\text{var}}$ kan uppnås genom det förväntade nuvärdet av dess utdelningsfunktion, dvs

C_{t_{0}}^{\ operatörsnamn {var} }:=e^{-\int _{t_{0}}^{T}r(s)\,ds}\operatörsnamn {E} ^{\mathbb {Q} }[(RV_{( \cdot )}-K_{\operatörsnamn {var} }^{C})^{+}\mid {\mathcal {F}}_{t_{0}}],

där $RV_{(\cdot )}=RV_{d}$ för den diskreta samplingen medan $RV_{(\cdot )} =RV_{c}$ för den kontinuerliga samplingen. Och genom put-call-paritet får vi också putsvärdet när $C_{t_{0}}^{\text{var}}$ är känt. Lösningen kan närma sig analytiskt med den metod som liknar Black-Scholes- härledningen när sannolikhetstäthetsfunktionen för $RV_{(\cdot )}$ , eller med hjälp av några approximationsscheman , typ Monte Carlo-metoden .

Analytisk prissättning av variansalternativ med diskret urval med tidsvarierande riskfri ränta och konstant prisvolatilitet

På grund av Rujivan och Rakwongwan (2021), i fallet med diskret sampling realiserad varians med tidsvarierande riskfri ränta $r(s)$ och konstant prisvolatilitet $\sigma > 0$ , genom att utnyttja den icke-centrala chi-kvadratfördelningen av $RV_{d}$ kan den analytiska prissättningslösningen för variansanrop härledas med följande argument.

Först, om vi definierar

$\mu _{i}:=\int _{t_{i-1}}^{t_ {i}}r(s)\,ds-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\Delta t,$
$\lambda :={\frac {\sqrt {\sum _{i=0}^{n}\mu _{i}^{2} }}{\sigma {\sqrt {\Delta t}}}},$
$\beta :=\sigma {\sqrt {\frac {\Delta t}{T}}}\times 100\;\;$ och
$\Delta t:=t_{i}-t_{i-1}$ för alla $i\in \{0 ,\ldots ,n\}$

då är avvikelsens samtalspris enligt följande formel i sluten form

C_{t_{0}}^{\operatörsnamn {var} }=e^{ -\int _{t_{0}}^{T}r(s)\,ds}\operatörsnamn {E} ^{\mathbb {Q} [(RV_{d}-K_{\operatörsnamn {var} } ^{C})^{+}|{\mathcal {F}}_{t_{0}}]=e^{-\int _{t_{0}}^{T}r(s)\,ds }(K_{\operatörsnamn {var} _{j}}-K_{\operatörsnamn {var} }^{C}+I_{\operatörsnamn {var} _{j}})

för $j=1,2$ fallen $}>0}$ ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}\mu _{i}^{$ respektive ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}\mu _{i}^{2}=0} ,$ där

$K_{\operatörsnamn {var} _{j}}=\beta ^{2}(n+(2-j)\lambda ^{ 2})$ representerar det rimliga lösenpriset för variansswap ,
$I_{\operatörsnamn {var} _{1} }:=\int _{0}^{K_{\operatörsnamn {var} }^{C}}(K_{\operatörsnamn {var} }^{C}-y){\frac {1}{\beta ^ {2}}}f_{1,Y}{\Big (}{\frac {y}{\beta ^{2}}}:n,\lambda ^{2}{\Big )}dy,$
$I_{\operatörsnamn {var} _{2}}:= \int _{0}^{K_{\operatörsnamn {var} }^{C}}(K_{\operatörsnamn {var} }^{C}-y){\frac {1}{\beta ^{2} }}f_{2,Y}{\Big (}{\frac {y}{\beta ^{2}}}:n{\Big )}\,dy,$
$f_{1,Y}(y;n ,\nu ):={\frac {1}{2}}e^{-{\frac {y+\nu }{2}}}{\Big (}{\frac {y}{\nu }}{ \Big )}^{{\frac {n}{4}}-{\frac {1}{2}}}{\textbf {I}}_{{\frac {n}{2}}-{\ frac {1}{2}}},$
$f_{2,Y}(y;n):={\frac {y^ {\frac {n-2}{2}}e^{-{\frac {y}{2}}}}{2^{\frac {n}{2}}\Gamma ({\frac {n} {2}})}}$
${\displaystyle {\textbf {I}}_{\nu}(x):={\frac {x}{2}}\summa _{k=0}^{\infty }{\frac {({\frac {x^{2}}{4}})^{k}}{k!\Gamma (\nu +k+1)}}} är en modifierad Bessel-funktion$ av den första typ med parametern $\nu$ och
$\Gamma (x):=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t }\,dt$ är gammafunktionen .

Även om formeln ger en exakt lösning på variansalternativen är den endast funktionell med deterministisk ränta och konstant prisvolatilitet. Och för de mer inkluderande modellerna där någon av parametrarna utvecklas stokastiskt, t.ex. Heston-modellen , finns det fortfarande ingen sluten formel avslöjad, vilket lämnar en spännande fråga för derivatprissättningens ytterligare bidrag .

Se även