Alligation

Alligering är en gammal och praktisk metod för att lösa aritmetiska problem relaterade till blandningar av ingredienser. Det finns två typer av alligering: alligeringsmedial , används för att hitta mängden av en blandning med tanke på mängden av dess ingredienser, och alligeringsalternativ , används för att hitta mängden av varje ingrediens som behövs för att göra en blandning av en given kvantitet. Alligation medialt är bara en fråga om att hitta ett viktat medelvärde . Alligeringsalternativ är mer komplicerat och innebär att man organiserar ingredienserna i höga och låga par som sedan byts ut. Alligeringsalternativ ger svar när en algebraisk lösning (t.ex. med samtidiga ekvationer) inte är möjlig (t.ex. du har tre variabler men bara två ekvationer). Observera att i den här problemklassen kan det finnas flera möjliga svar.

Ytterligare två varianter av allligation förekommer: Alligation Partial och Alligation Total (se John Kings Arithmetic Book 1795 som innehåller utförda exempel.) Tekniken används inte i skolor även om den fortfarande används på apotek för snabb beräkning av kvantiteter.

Exempel

Alligationsmedial

Anta att du gör en cocktaildrinkkombination av 1/2 cola , 1/4 sprite och 1/4 apelsinläsk. Cola har 120 gram socker per liter, Sprite har 100 gram socker per liter och apelsinläsken har 150 gram socker per liter. Hur mycket socker innehåller drycken? Detta är ett exempel på alligationsmedialt eftersom du vill hitta mängden socker i blandningen med tanke på mängden socker i dess ingredienser. Lösningen är bara att hitta det viktade genomsnittet efter sammansättning:

{1 \over 2}\times 120+{1 \over 4}\times 100+{1 \over 4}\times 150=122,5

gram per liter

Alligering alternativ

Anta att du gillar 1 % mjölk, men att du bara har 3 % helmjölk och ½ % lättmjölk. Hur mycket av varje ska du blanda för att göra en 8-ounce kopp 1% mjölk? Detta är ett exempel på alternativ för alligering eftersom du vill hitta mängden av två ingredienser som ska blandas för att bilda en blandning med en given mängd fett. Eftersom det bara finns två ingredienser finns det bara ett möjligt sätt att bilda ett par. Skillnaden på 3 % från den önskade 1 %, 2 %, tilldelas lågfettmjölken, och skillnaden på ½ % från den önskade 1 %, ½ %, tilldelas växelvis helmjölken. Det totala beloppet, 8 uns, divideras sedan med summan $2+{1 \over 2}={5 \over 2}$ för att ge $16 \over 5$ , och mängderna av de två ingredienserna är

{\displaystyle {16 \over 5}\times {1 \over 2}={8 \over 5}} uns

helmjölk och

{16 \ över 5}\ gånger 2={32 \over 5}

uns lättmjölk.

Denna artikel innehåller text från en publikation som nu är allmän egendom : Chambers, Ephraim, ed. (1728). "Alligation". Cyclopædia, eller en Universal Dictionary of Arts and Sciences (1:a upplagan). James och John Knapton, et al.

En allmän formel som fungerar för både allligering "alternerande" och allligering "medial" är följande: Aa + Bb = Cc.

I denna formel är A volymen av ingrediens A och a är dess blandningskoefficient (dvs a= 3%); B är volymen av ingrediens B och b är dess blandningskoefficient; och C är den önskade volymen C, och c är dess blandningskoefficient. Så i exemplet ovan får vi: A(0,03) + B(0,005) = 8oz(0,01). Vi vet att B = (8oz-A), och kan därför enkelt lösa för A och B för att få 1,6 respektive 6,4oz. Med den här formeln kan du lösa någon av de 6 variablerna A,a,B,b,C,c, oavsett om du har att göra med mediala, alternativa, etc.

Tre-variabel Alligering Alternativ

Anta att du fick 100 dollar för att köpa 100 godisbitar, med klubbor för 50 cent styck, godiskakor för 3 dollar styck och stora chokladkakor för 10 dollar styck. Hur många skulle du köpa av varje?

Se den här tabellen i sekvensen av steg nedan:

Alligering alternera med tre variabler
Enkel	A	B	C	D	E	F	Kvantitet
0,50	2.00	9.00	4	18	4	90	94
3.00	0,50		1		1		1
10.00		0,50		1		5	5

Bestäm det genomsnittliga priset på godisarna, $1
Identifiera en av de typer av godis som kostar mindre än genomsnittet (kallas "enkel") och koppla ihop den med en av de enkla som är högre än genomsnittet (i det här fallet finns det bara en av de billigare enkla, men du väljer bland de två billigare Simples).
Subtrahera den lägre enkla från genomsnittet (i det här fallet $1,00-0,50). Tilldela skillnaden 0,50 till den högre Simple i kolumn A.
Subtrahera medelvärdet från det högre Simple (i det här fallet $3,00-$1,00). Tilldela skillnaden 2,00 till den lägre Simple i kolumn A.
Välj den andra högre Simple (i det här fallet $10) och subtrahera medelvärdet från det. Tilldela skillnaden 9,00 till den lägre Simple i kolumn B.
Upprepa steg 3 och tilldela skillnaden 0,50 till den högre Simple i kolumn B.
Minska förhållandet mellan värdena i kolumn A till deras minsta gemensamma nämnare och tilldela det alligeringsförhållandet till cellerna i kolumn C.
Minska förhållandet mellan värdena i kolumn B till deras lägsta gemensamma nämnare, och tilldela det alligeringsförhållandet till cellerna i kolumn D.
Lägg till värdena i kolumn C tillsammans (i detta fall 5); detta är det totala antalet "delar av helheten"
Kopiera värdena i kolumn C till kolumn E
Multiplicera värdena i kolumn D med "delarna av helheten" (i det här fallet 5)
Lägg till värdena i kolumn E och F för varje rad för att bestämma svaret för kvantiteten av varje enkel att köpa.

Upprepade utspädningar

8 liter dras från ett fat fullt med rent vin och fylls sedan med vatten. Denna operation utförs ytterligare tre gånger. Förhållandet mellan mängden vin som nu finns kvar i fatet och vatten är 16:65. Hur mycket vin rymde fatet ursprungligen? Detta är ett exempel på ett problem som involverar upprepade utspädningar av en given lösning.

Låt Vw vara volymen vin på fatet ursprungligen.
Låt Vt vara den totala volymen vätska i fatet.
Låt X vara procentandelen vin på fatet ursprungligen.

X = ursprunglig volym vin/ total volym vätska i fatet = Vw / Vt

När 8 liter tappas ut minskas volymen vin med 8 X liter medan den totala volymen vätska förblir oförändrad när den fylls på med vatten.

Låt X' vara den nya procentandelen vin på fatet efter denna operation

X' = (ursprunglig volym vin – 8 X) / total volym vätska i fatet

X' = [Vw – 8 (Vw/ Vt)] / Vt

X' = X (Vt – 8) / Vt

Efter 4 sådana ersättningsoperationer, X'''' = X [(Vt – 8)/ Vt] ^ 4

Från problemet, X'''' = 16/ (16 + 65) = 16/81

Dessutom, eftersom fatet ursprungligen var fullt av rent vin, är X = 1

[(Vt – 8)/ Vt] ^ 4 = 16/81

=> Vt = 24 liter

"Alligation, föregångare till linjär programmering", Frederick V. Waugh , Journal of Farm Economics Vol. 40, nr 1 (feb. 1958), s. 89–103 jstor.org/stable/1235348 .

externa länkar