Euler-Boole summering

Euler–Boole summation är en metod för att summera alternerande serier baserade på Eulers polynom , som definieras av

${\frac {2e^{xt}}{e^{t}+1}}=\sum _{n=0}^{\infty }E_{n}(x){\frac {t^ {n}}{n!}}.$

Konceptet är uppkallat efter Leonhard Euler och George Boole .

De periodiska Eulerfunktionerna är

${\widetilde {E}}_{n}( x+1)=-{\widetilde {E}}_{n}(x){\text{ och }}{\widetilde {E}}_{n}(x)=E_{n}(x){ \text{ för }}0<x<1.$

Euler-Boole-formeln för att summera alternerande serier är

$\sum _{j=a}^{n-1}(-1)^{j}f( j+h)={\frac {1}{2}}\summa _{k=0}^{m-1}{\frac {E_{k}(h)}{k!}}\left(( -1)^{n-1}f^{(k)}(n)+(-1)^{a}f^{(k)}(a)\höger)+{\frac {1}{2 (m-1)!}}\int _{a}^{n}f^{(m)}(x){\widetilde {E}}_{m-1}(hx)\,dx,$

där $a,m,n\in \mathbb {N} ,a<n,h\in [0,1]$ och $f^{(k)}$ är den k: te derivatan.

• Jonathan M. Borwein, Neil J. Calkin , Dante Manna: Euler–Boole Summation Revisited . The American Mathematical Monthly , Vol. 116, nr 5 (maj, 2009), s. 387–412 ( online , JSTOR )
•   Nico M. Temme: Special Functions: An Introduction to the Classical Functions of Mathematical Physics . Wiley, 2011, ISBN 9781118030813 , s. 17–18