Čech-till-härledd funktorspektralsekvens

Inom algebraisk topologi , en gren av matematiken , är den Čech-till-härledda funktorspektralsekvensen en spektralsekvens som relaterar Čech-kohomologin av en kärve- och kärvekohomologi .

Definition

Låt ${\mathcal {F}}$ vara en kärve på ett topologiskt utrymme X . Välj ett öppet lock ${\mathfrak {U}}$ av X . Det vill säga, ${\mathfrak {U}}$ är en uppsättning öppna delmängder av X som tillsammans täcker X . Låt ${\mathcal {H}}^{q}(X,{\mathcal {F}})$ beteckna den förskarv som tar en öppen mängd U till den q :e kohomologin av ${\mathcal {F}}$ på U , det vill säga till $H^{q}(U,{\mathcal {F}})$ . För varje förlist ${\mathcal {G}}$ , låt ${\check {H}}^{p}({\mathfrak {U}},{\ mathcal {G}})$ betecknar den p :te Čech-kohomologin för ${\mathcal {G}}$ med avseende på omslaget ${\mathfrak {U}}$ . Då är den Čech-till-härledda funktorspektralsekvensen:

$E_{2}^{p,q}={\check {H}}^{p}({\mathfrak {U}},{\mathcal {H}}^{q}(X,{\ mathcal {F}}))\Rightarrow H^{p+q}(X,{\mathcal {F}}).$

Egenskaper

Om ${\mathfrak {U}}$ endast består av två öppna uppsättningar, så degenererar denna spektralsekvens till Mayer–Vietoris-sekvensen . Se Spektralsekvens#Långa exakta sekvenser .

Om kohomologin försvinner för alla ändliga skärningspunkter för en täckning, degenererar E ₂ -termen och kantmorfismerna ger en isomorfism av Čech kohomologi för denna täckning till kärvkohomologi. Detta tillhandahåller en metod för att beräkna kärvkohomologi med hjälp av Čech kohomologi. Detta händer till exempel om ${\mathcal {F}}$ är en kvasi-koherent bunt på ett schema och varje element i ${\mathfrak {U}}$ är ett öppet affint delschema så att alla finita skärningspunkter är igen affina (t.ex. om schemat är separerat ). Detta kan användas för att beräkna kohomologin för linjebuntar på projektivt utrymme.

Se även

• Lerays teorem

Anteckningar

•    Dimca, Alexandru (2004), Sheaves in topology , Universitext, Berlin: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-20665-1 , MR 2050072
•   Godement, Roger (1973), Topologie algébrique et théorie des faisceaux , Paris: Hermann, MR 0345092
•    Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry , Graduate Texts in Mathematics , vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9 , MR 0463157