Övergående kinetisk isotopfraktionering

Övergående kinetiska isotopeffekter (eller fraktionering ) inträffar när reaktionen som leder till isotopfraktionering inte följer ren första ordningens kinetik och därför kan isotopeffekter inte beskrivas med de klassiska jämviktsfraktioneringsekvationerna eller med steady-state kinetiska fraktioneringsekvationer (även känd som Rayleighs ekvation). I dessa fall kan de allmänna ekvationerna för biokemisk isotopkinetik ( GEBIK ) och de allmänna ekvationerna för biokemisk isotopfraktionering ( GEBIF ) användas.

GEBIK- och GEBIF-ekvationerna är den mest generaliserade metoden för att beskriva isotopiska effekter i alla kemiska , katalytiska reaktioner och biokemiska reaktioner eftersom de kan beskriva isotopiska effekter i jämviktsreaktioner, kinetiska kemiska reaktioner och kinetiska biokemiska reaktioner. I de två senare fallen kan de beskriva både stationär och icke-stationär fraktionering (dvs variabel och invers fraktionering). I allmänhet beror isotopiska effekter på antalet reaktanter och på antalet kombinationer som resulterar från antalet substitutioner i alla reaktanter och produkter. Att beskriva isotopiska effekter med noggrannhet beror dock också på den specifika hastighetslagen som används för att beskriva den kemiska eller biokemiska reaktionen som ger isotopiska effekter. Normalt, oavsett om en reaktion är rent kemisk eller om den involverar något enzym av biologisk natur, baseras ekvationerna som används för att beskriva isotopiska effekter på första ordningens kinetik. Detta tillvägagångssätt leder systematiskt till isotopiska effekter som kan beskrivas med hjälp av Rayleigh-ekvationen. I det här fallet kommer isotopeffekter alltid att uttryckas som en konstant, och kommer därför inte att kunna beskriva isotopeffekter i reaktioner där fraktionering och anrikning är variabla eller inversa under en reaktions gång. De flesta kemiska reaktioner följer inte första ordningens kinetik; varken biokemiska reaktioner kan normalt beskrivas med första ordningens kinetik. För att korrekt beskriva isotopiska effekter i kemiska eller biokemiska reaktioner måste olika tillvägagångssätt användas, såsom användningen av Michaelis-Menten- reaktionsordning (för kemiska reaktioner) eller kopplade Michaelis-Menten- och Monod-reaktionsordningar (för biokemiska reaktioner). Men omvänt till Michaelis–Menten-kinetiken löses GEBIK- och GEBIF-ekvationer under hypotesen om icke-stabilt tillstånd. Denna egenskap tillåter GEBIK och GEBIF att fånga övergående isotopeffekter.

Matematisk beskrivning av transienta kinetiska isotopeffekter

GEBIK- och GEBIF-ekvationerna introduceras här nedan.

Notation

GEBIK- och GEBIF-ekvationerna beskriver dynamiken för följande tillståndsvariabler

S

substratkoncentration

P

produktkoncentration

E

enzymkoncentration

C

komplexkoncentration

B

biomassakoncentration

Både S och P innehåller minst ett isotopiskt uttryck av en spåratom. Till exempel, om kolelementet används som ett spårämne, innehåller både S och P minst en C-atom, som kan visas som ${\ce {^{12}C}}$ och ${\ displaystyle {\ce {^{13}C}}}$ . Det isotopiska uttrycket inom en molekyl är

$_{a}^{b}{\ce {S}}$

där $_{a}$ är antalet spåratomer inom S, medan $^{b}$ är antalet isotopsubstitutioner i samma molekyl. Villkoret $0\leq b\leq a$ måste vara uppfyllt. Till exempel ${\displaystyle {\ce {N2}}}-$ produkten där 1 isotopsubstitution sker (t.ex. ${\ce {^{15}N^{14}N}}$ ) kommer att beskrivas av ${\ce {^1_2P}}$ .

Substrat och produkter uppträder i en kemisk reaktion med specifika stökiometriska koefficienter. När kemiska reaktioner omfattar kombinationer av reaktanter och produkter med olika isotopiska uttryck, är de stökiometriska koefficienterna funktioner av isotopsubstitutionstalet. Om $x_{b}$ och $y_{d}$ är den stökiometriska koefficienten för ${\displaystyle _{a}^{b}{\ce {S}}}-$ substrat och $_{c}^{d}{\ce {P}}$ produkt, en reaktion tar formen

$\sum _{b=0}^{a}x_{b}{}_{a}^{b}{\ce {S ->}}\summa _{d=0}^{c} y_{d}{}_{c}^{d}{\ce {P}}.$

Till exempel, i reaktionen ${\ce {{^{14}NO3^{-}}+^{15}NO3^{-}-> {^{14}{N}}{^{15}{NO}}}}$ , notationen är ${\ce {{^{0}_{1 }S}+{^{1}_{1}S}->{^{1}_{2}P}}}$ med $x_{0}=x_{1} =1$ för båda isotopologreaktanterna av samma substrat med substitutionsnummer $b=0$ och $b=1$ och med $y_{1}=1$ för ${\ce {^1_2P}}$ och $y_{0}=y_{2}=0$ eftersom reaktionen inte innefattar produktion av ${\ce {^{0}_{2}P={^{14}N2O}}}$ och ${\ce {^{2} _{2}P={^{15}N2O}}}$ .

För isotopomerer beaktas substitutionsplatsen som $_{a}^{b}{\ce {S}}^{\beta }$ och $_{a }^{b}{\ce {S}}^{\gamma }$ , där $\beta$ och $\gamma$ indikerar olika uttryck för samma isotopolog $_ {a}^{b}{\ce {S}}$ . Isotopomerer existerar bara när $1\leq b<a$ och $a\geq 2$ . Substitutionsplatsen måste definieras specifikt beroende på antalet spåratomer a , antal substitutioner b och molekylstruktur. För multiatomära molekyler som är symmetriska med avseende på spårningsposition, finns det inget behov av att specificera substitutionspositionen när $b=1$ . Till exempel, en substitution av deuterium ${\ce {D\ =\ {^{2}H}}}$ i den symmetriska metanmolekylen ${\ce {CDH3}}$ kräver inte användning av rätt upphöjd. I fallet att $b=2$ måste ersättningsplatsen anges, medan för ${\ce {CHD3}}$ och ${\ce {CD4} }$ det krävs inte. Till exempel kan två D-substitutioner i ${\ce {CD2H2}}$ förekomma på intilliggande eller icke-angränsande platser. Med hjälp av denna notation, reaktionen ${\ce {{CD2H2}+ {2O2}-> {H2O}+ {D2O}+ {CO2},}}$ kan skrivas som

${\ce {{^{2}_{4}S}^{\beta}->{^{0}_{2}P}+{^ {2}_{2}P}}}$

där $\beta$ i ${\ce {{^{2}_{4}S}^{\beta }}}$ definierar endast en av de två metanformerna (antingen med angränsande eller icke-intilliggande D-atomer). Placeringen av D i de två isotopologvattenmolekylerna som produceras på den högra sidan av reaktionen har inte angetts eftersom D endast finns närvarande i en vattenmolekyl vid mättnad, och eftersom vattenmolekylen är symmetrisk. För asymmetriska och multiatomära molekyler med $1\leq b<a$ och $a\geq 2$ krävs alltid en definition av substitutionsplatsen. Till exempel är isotopomererna av den (asymmetriska) dikväveoxidmolekylen ${\ce {N2O}}$${\ce {^{1}_{ 2}S^{\beta }={^{15}N}{^{14}NO}}}$ och ${\ce {^{1}_{2 }S^{\gamma }={^{14}N}{^{15}NEJ}}}$ .

Reaktioner av asymmetriska isotopomerer kan skrivas med hjälp av partitioneringskoefficienten u as

$\sum _{b=0}^{a}\sum _{\beta } x_{b}\ {_{a}^{b}}{\ce {S}}^{\beta }{\ce {->}}\summa _{d=0}^{c}\summa _ {\gamma }u_{\gamma }y_{d}\ {_{c}^{d}}{\ce {P}}^{\gamma },$

där $u_{\gamma }=1$ . Till exempel, med användning av N-isotopspårämnen, är isotopomerreaktionerna

${\ce {{^{14}NO3^{-}}+{^{15}NO3^{-}}->{^{ 14}N}{^{15}NO},}}$

${\ce {{^{14}NO3^{-}}+{ ^{15}NO3^{-}}->{^{15}N}{^{14}NEJ},}}$

kan skrivas som en reaktion där varje isotopomerprodukt multipliceras med sin fördelningskoefficient som

${\ce {{^{0}_{1}S}+{^{1}_{1}S }->{\mathit {u}}_{\beta }{^{1}_{2}P}^{\beta }+{\mathit {u}}_{\gamma }{^{1}_ {2}P}^{\gamma },}}$

med $u_{\gamma }=1-u_{\beta }$ . Mer generellt förekommer inte spårämnet nödvändigtvis i endast ett substrat och en produkt. Om ${\displaystyle n_{{\ce {S}}}}-$ substrat reagerar och frigör ${\displaystyle n_{{\ce {P}}}}-$ produkter, som var och en har ett isotopiskt uttryck av spårelementet, då generaliserad reaktionsnotation är

$\sum _{j=1}^{n_{S}}\summa _{b_{j}=0}^{a_{j}}\summa _{\beta _{j}}x_{b_ {j}}\ {_{a_{j}}^{b_{j}}}{\ce {S}}_{j}^{\beta _{j}}{\ce {->}}\ summa _{h=1}^{n_{P}}\summa _{d_{h}=0}^{c_{h}}\summa _{\gamma _{h}}u_{\gamma _{h }}\ y_{d_{h}}\ {_{c_{h}}^{d_{h}}}{\ce {P}}_{h}^{\gamma _{h}}.$

 

 

 

 

()

Betrakta till exempel ${\ce {^{16}O}}$ och ${\ce {^{18}O}}$ spårämnen i reaktionen

${\ce {{CH2^{18}O}+{^{16}O2}->{H2^{16} O}+C^{18}O^{16}O}}$

I det här fallet kan reaktionen skrivas som

${\ce {{^{1}_{1}S1}+{^{0}_{2}S2}->{ ^{0}_{1}P1}+{^{1}_{2}P2}}}$

med två substrat och två produkter utan indikation på substitutionsplatsen eftersom alla molekyler är symmetriska.

Biokemiska kinetiska reaktioner av typ ( 1 ) är ofta katalytiska reaktioner där ett eller flera substrat, ${\displaystyle {\ce {S}}_{j}},$ binder till ett enzym, E, för att bilda ett reversibelt aktiverat komplex , C, som frigör en eller flera produkter, ${\ce {P}}_{h}$ och fritt, oförändrat enzym. Dessa reaktioner tillhör den typ av reaktioner som kan beskrivas av Michaelis–Menten- kinetiken. Att använda detta tillvägagångssätt för substrat- och produktisotopologer och isotopomeruttryck, och under de föreskrivna stökiometriska förhållandena mellan dem, leder till allmänna reaktioner av typen Michaelis-Menten

$\sum _{j= 1}^{n_{{\ce {S}}}}\summa _{b_{ji}=0}^{a_{ji}}\summa _{\beta _{ji}}x_{b_{ji} }\ {_{a_{j}}^{b_{ji}}}{\ce {S}}_{j}^{\beta _{ji}}+{\ce {E <=>[{k }_{1(i)}][{k}_{2(i)}]}}{\ce {C}}_{i}{\ce {->[{k}_{3(i) }]}}\summa _{h=1}^{n_{{\ce {P}}}}\summa _{d_{hi}=0}^{c_{hi}}\summa _{\gamma _ {hi}}u_{\gamma _{hi}}y_{d_{hi}}\ {_{c_{h}}^{d_{hi}}}{\ce {P}}_{h}^{ \gamma _{hi}}+{\ce {E}}$

 

 

 

 

()

med indexet $i=1,...,m$ , där m beror på antalet möjliga atomkombinationer bland alla isotopologer och isotopomerer. Här, $k_{1(i)}$ , $k_{2(i)}$ och $k_{3(i) )}$ är hastighetskonstanterna som indexeras för var och en av de m reaktionerna.

Exempel

Reaktionerna

${\ce {2^{14}NO3^{-}->{^{14}N2O}}}$

${\ce {{^{14}NO3^{-}}+{^{15}NO3^{-}}->{^{14}N}{^{15}NO}} }$

${\ce {{^{14}NO3^{-}}+{^{15}NO3^{-}}->{^ {15}N}{^{14}NEJ}}}$

${\ce {2^{15}NO3^{-}->{^{15}N2O }}}$

kan skrivas som

${\ce {{2_{1}^{0}S}+{E} <=>[{k}_{1(1)}][{k}_{2(1)}]{C1}->[{k}_{3(1)}]{^{0}_ {2}P}+{E}}}$

${\ce {{^{0}_{1}S}+{^{1}_{1}S}+{E}<=>[{k}_{1(2} )}][{k}_{2(2)}]{C2}->[{k}_{3(2)}]{\mathit {u}}_{\beta }{^{1}_ {2}P}^{\beta }+{\mathit {u}}_{\gamma }{^{1}_{2}P}^{\gamma }+{E}}}$

${\ce {{2_{1}^{1}S}+{E}<= >[{k}_{1(3)}][{k}_{2(3)}]{C3}->[{k}_{3(3)}]{^{2}_{2 }P}+{E}}}$

Isotopmassbalans

Följande isotopmassbalanser måste hålla

$\summa _{j=1}^{n_{S}}\summa _{b_{j}=0}^{a_{j}}\summa _{\beta _{j}}x_{b_{j}}\ a_{j}=\summa _{h=1}^{n_{P}}\summa _{d_{h}=0}^{c_{h}}\summa _{\gamma _{h}}u_ {\gamma _{h}}\ y_{d_{h}}\ c_{h},$

$\sum _{j=1}^{n_{S}}\summa _{b_{j}=0}^{a_{j}}\summa _{\beta _{j}}x_{b_ {j}}\ b_{j}=\summa _{h=1}^{n_{P}}\summa _{d_{h}=0}^{c_{h}}\summa _{\gamma _ {h}}u_{\gamma _{h}}\ y_{d_{h}}\ d_{h}.$

Allmänna ekvationer för biokemisk isotopkinetik (GEBIK)

För att lösa koncentrationen av alla komponenter som förekommer i någon allmän biokemisk reaktion som i ( 2 ), kopplas Michaelis-Menten-kinetiken för en enzymatisk reaktion med Monod-kinetiken för biomassadynamik. Det mest allmänna fallet är att anta att enzymkoncentrationen är proportionell mot biomassakoncentrationen och att reaktionen inte är i kvasi-steady state. Dessa hypoteser leder till följande ekvationssystem

${\frac {{\ce { d}}[{^{b_{j}}_{a_{j}}}{\ce {S}}_{j}^{\beta _{j}}]}{{\ce {d}} t}}=\summa _{i}x_{b_{ji}}[{k}_{2(i)}C_{i}-{k}_{1(i)}{E{\overline {S }}}_{i}]$

 

 

 

 

()

${\frac {{\ce {d}}C_{i}} {{\ce {d}}t}}={k}_{1(i)}{E{\overline {S}}}_{i}-[{k}_{2(i)}+{ k}_{3(i)}]C_{i}$

 

 

 

 

()

${\frac {{\ce {d}}[{^{d_ {h}}_{c_{h}}}{\ce {P}}_{h}^{\gamma _{h}}]}{{\ce {d}}t}}=\summa _{ i}u_{\gamma _{hi}}y_{d_{hi}}{k}_{3(i)}C_{i}$

 

 

 

 

()

${\frac {{\ce {d}}E}{{\ce {d}}t}}=z{\frac {{\ce {d}}B}{{\ce {d}}t}}-\sum _{i}{\frac {{\ce {d}}C_{i}}{{\ce {d }}t}}$

 

 

 

 

()

${\frac {{\ce {d}}B}{{\ce {d}}t}}=Y\summa _{h}\summa _{d_{h}}\summa _{\gamma _{h}}{\frac {{\ce {d}}[{^{ d_{h}}_{c_{h}}}{\ce {P}}_{h}^{\gamma _{h}}]}{{\ce {d}}t}}-\mu B$

 

 

 

 

()

med $i=1,...,m$ , och där ${\overline {S}}_{i}$ är koncentrationen av det mest begränsande substratet i varje reaktion i , z är enzymavkastningskoefficienten, Y är utbyteskoefficienten som uttrycker biomassaökningen per enhet frigjord produkt och $\mu$ är biomassadödligheten.

Allmänna ekvationer för biokemisk isotopfraktionering (GEBIF)

Den isotopiska sammansättningen av komponenterna i ett biokemiskt system kan definieras på olika sätt beroende på definitionen av isotopkvoten. Tre definitioner beskrivs här:

Isotopkvot – definition 1

Isotopförhållande i förhållande till varje komponent i systemet, var och en med sitt isotopiska uttryck, med avseende på koncentrationen av dess mest förekommande isotopolog

$R_{S_{b_{j},\beta _{j}} }^{**}(t)={\frac {{^{b_{j}}_{a_{j}}}S_{j}^{\beta _{j}}(t)}{^{ 0}_{a_{j}}S_{j}(t)}}$

$R_{P_{d_{h},\gamma _{h}}}^{**}(t)={\frac {{^{d_{h}}_{c_{h}}}P_ {h}^{\gamma _{h}}(t)}{^{0}_{c_{h}}P_{h}(t)}}$

Isotopkvot – definition 2

Isotopförhållande i förhållande till massan av spårelementet i varje komponent;

$R_{S_{j}}^{*}(t)={\frac {\displaystyle \sum _{b_{j}\ neq 0}\sum _{\beta _{j}}{\frac {b_{j}q}{^{b_{j}}M_{S_{j}}}}\ {^{b_{j}} _{a_{j}}}S_{j}^{\beta _{j}}(t)}{\displaystyle \sum _{b_{j}\neq a_{j}}\summa _{\beta _ {j}}{\frac {(a_{j}-b_{j})p}{^{b_{j}}M_{S_{j}}}}\ {^{b_{j}}_{a_ {j}}}S_{j}^{\beta _{j}}(t)}}$

$R_{P_{h} }^{*}(t)={\frac {\displaystyle \sum _{d_{h}\neq 0}\summa _{\gamma _{h}}{\frac {d_{h}q}{^ {d_{h}}M_{P_{h}}}}\ {^{d_{h}}_{c_{h}}}P_{h}^{\gamma _{h}}(t)}{ \displaystyle \sum _{d_{h}\neq c_{h}}\summa _{\gamma _{h}}{\frac {(c_{h}-d_{h})p}{^{d_{ h}}M_{P_{h}}}}\ {^{d_{h}}_{c_{h}}}P_{h}^{\gamma _{h}}(t)}}$

där $^{b_{j}}M_{S_{j}}$ och $^{d_{h}}M_{P_{h}}$ är molekylvikten för varje isotopexpression av substratet och produkten.

Isotopkvot – definition 3

Isotopförhållande i förhållande till massan av spårämnet i de ackumulerade substraten och produkterna

$R_{S}(t)={\frac {\displaystyle \sum _{j}\sum _{b_{j }\neq 0}\summa _{\beta _{j}}{\frac {b_{j}q}{^{b_{j}}M_{S_{j}}}}\ {^{b_{j }}_{a_{j}}}S_{j}^{\beta _{j}}(t)}{\displaystyle \sum _{j}\summa _{b_{j}\neq a_{j} }\summa _{\beta _{j}}{\frac {(a_{j}-b_{j})p}{^{b_{j}}M_{S_{j}}}}\ {^{ b_{j}}_{a_{j}}}S_{j}^{\beta _{j}}(t)}},$

$R_{P}(t)={\frac {\displaystyle \sum _{h}\summa _{d_{h}\neq 0}\summa _{\gamma _{h}}{\frac { d_{h}q}{^{d_{h}}M_{P_{h}}}}\ {^{d_{h}}_{c_{h}}}P_{h}^{\gamma _{ h}}(t)}{\displaystyle \sum _{h}\summa _{d_{h}\neq c_{h}}\summa _{\gamma _{h}}{\frac {(c_{h} }-d_{h})p}{^{d_{h}}M_{P_{h}}}}\ {^{d_{h}}_{c_{h}}}P_{h}^{\ gamma _{h}}(t)}}.$

Isotopisk sammansättning

Oavsett definitionen av isotopförhållandet uttrycks isotopsammansättningen av substrat och produkt som

$\delta _{S}(t)=\left({\frac {R_{S}(t)}{R_ {std}}}-1\right)1000$ ,

 

 

 

 

()

$\delta _{P}(t)=\left({\frac {R_{P}(t)}{R_ {std}}}-1\right)1000$ .

 

 

 

 

()

där $R_{std}$ är en standard isotopranson. Här har definition 3 av isotopkvot använts, men vilken som helst av de tre definitionerna av isotopkvot kan användas lika.

Fraktioneringsfaktor

Produktens isotopförhållande kan användas för att definiera det momentana isotopförhållandet

${\ce {IR}}_{\ce {P}}(t) ={\cfrac {\displaystyle \sum _{h}\sum _{d_{h}\neq 0}\summa _{\gamma _{h}}{\cfrac {d_{h}q}{^{d_ {h}}M_{{\ce {P}}_{h}}}}\ {\cfrac {{\ce {d}}[{^{d_{h}}_{c_{h}}}{ \ce {P}}_{h}^{\gamma _{h}}(t)]}{{\ce {d}}t}}}{\displaystyle \sum _{h}\summa _{d_ {h}\neq c_{h}}\summa _{\gamma _{h}}{\cfrac {(c_{h}-d_{h})p}{^{d_{h}}M_{{\ ce {P}}_{h}}}}\ {\cfrac {{\ce {d}}[{^{d_{h}}_{c_{h}}}{\ce {P}}_{ h}^{\gamma _{h}}(t)]}{{\ce {d}}t}}}}$

 

 

 

 

()

och den tidsberoende fraktioneringsfaktorn

$\alpha (t)={\frac {{\ce {IR}}_{{\ce {P}}}(t)}{ R_{{\ce {S}}}(t)}}$

 

 

 

 

()

Isotopisk anrikning

Den tidsberoende isotopanrikningen definieras enkelt som

$\epsilon (t)=1-\alpha (t)$

 

 

 

 

()

Förenklade former av GEBIK och GEBIF

Under specifika antaganden blir GEBIK- och GEBIF-ekvationerna ekvivalenta med ekvationen för steady-state kinetisk isotopfraktionering i både kemiska och biokemiska reaktioner. Här föreslås två matematiska behandlingar: (i) under biomassafri och enzyminvariant (BFEI) hypotes och (ii) under kvasi-steady-state (QSS) hypotes.

BFEI-hypotes

I de fall där biomassa- och enzymkoncentrationerna inte förändras nämnvärt med tiden, kan vi anta att biomassans dynamik är försumbar och att den totala enzymkoncentrationen är konstant, och GEBIK-ekvationerna blir

${\frac {{\ce { d}}[{^{b_{j}}_{a_{j}}}{\ce {S}}_{j}^{\beta _{j}}]}{{\ce {d}} t}}=\summa _{i}x_{b_{ji}}[{k}_{2(i)}C_{i}-{k}_{1(i)}{E{\overline {S }}}_{i}]$

 

 

 

 

()

${\frac {{\ce {d}}C_{i}} {{\ce {d}}t}}={k}_{1(i)}{E{\overline {S}}}_{i}-[{k}_{2(i)}+{ k}_{3(i)}]C_{i}$

 

 

 

 

()

${\frac {{\ce {d}}[{^{d_ {h}}_{c_{h}}}{\ce {P}}_{h}^{\gamma _{h}}]}{{\ce {d}}t}}=\summa _{ i}u_{\gamma _{hi}}y_{d_{hi}}{k}_{3(i)}{\ce {C}}_{i}$

 

 

 

 

()

${\frac {{\ce {d}}E}{{\ce {d}}t}}=-\summa _{i}{\ frac {{\ce {d}}C_{i}}{{\ce {d}}t}}$

 

 

 

 

()

Ekv. ( 4 ) för isotopkompositioner, ekv. ( 6 ) för fraktioneringsfaktorn och ekv. ( 7 ) för anrikningsfaktorn gäller även GEBIK-ekvationerna under BFEI-hypotesen.

QSS-hypotes

Om kvasi-steady-state-hypotesen antas utöver BFEI-hypotesen, så kan komplexkoncentrationen antas vara i ett stationärt (steady-state) enligt Briggs- Haldane -hypotesen, och GEBIK-ekvationerna blir

${\frac {{\ce {d}}[{_{a_{j}}^{b_{j}}}{\ce {S}}_{j}^{\beta _{ j}}]}{{\ce {d}}t}}\simeq -\sum _{i=1}^{m}{\frac {x_{b_{ji}}{k}_{3(i )}E_{0}{\overline {S}}_{i}}{{\overline {S}}_{i}+K_{i}\left(1+\displaystyle \sum _{p\neq i }{\dfrac {{\overline {S}}_{p}}{K_{p}}}\right)}}$

 

 

 

 

()

${\frac {{\ce {d}}[{^{d_{h}}_{c_{h}}}{\ce {P}}_{h}^{\ gamma _{h}}]}{{\ce {d}}t}}\simeq \sum _{i=1}^{m}{\frac {u_{\gamma _{hi}}y_{d_{ hej}}{k}_{3(i)}E_{0}{\overline {S}}_{i}}{{\overline {S}}_{i}+K_{i}\left(1) +\displaystyle \sum _{p\neq i}{\dfrac {{\overline {S}}_{p}}{K_{p}}}\right)}}$

 

 

 

 

()

som är skrivna i en form som liknar de klassiska Micaelis-Menten-ekvationerna för vilket substrat och produkt som helst. Här visar ekvationerna också att de olika isotopolog- och isotopomersubstraten framträder som konkurrerande arter. Ekv. ( 4 ) för isotopkompositioner, ekv. ( 6 ) för fraktioneringsfaktorn och ekv. ( 7 ) för anrikningsfaktorn gäller lika för GEBIK-ekvationerna under BFEI- och QSS-hypotesen.

Exempel på tillämpning av GEBIK och GEBIF

Ett exempel visas där GEBIK- och GEBIF-ekvationer används för att beskriva de isotopiska reaktionerna av ${\displaystyle {\ce {N2O}}}-$ förbrukning till ${\ce {N2}}$ enligt den samtidiga uppsättning reaktioner

${\ce {^{14}N2O->{^{14}N2},}}$

${\displaystyle {\ce {{^{14}N}{^{15}NO}->{^{14}N}{^{15}N},}}} N 15 NO 14$

$\ ce {{^{15}N}{^{14}NEJ}->{^{14}N}{^{15}N},}}}$

Dessa kan skrivas om med den notation som introducerades tidigare som.

${\ce {{^{0}_{2}S}+{E} <=>[{k}_{2(1)}][{k}_{1(1)}]C1->[{k}_{3(1)}]{^{0}_{2 }P}+{E},}}$

${\ce {{ ^{1}_{2}S}^{\beta }+{E}<=>[{k}_{2(2)}][{k}_{1(2)}]C2->[ {k}_{3(2)}]{^{1}_{2}P}+{E},}}$

${\ce {{^{1}_{2}S}^{\gamma }+{E}<=>[{k}_{2(3) )}][{k}_{1(3)}]C3->[{k}_{3(3)}]{^{1}_{2}P}+{E},}}$

Substratet ${\ce {^{2}_{2}S\ =\ {^{15}N2O}}}$ har inte inkluderats på grund av dess brist. Dessutom har vi inte specificerat isotopsubstitutionen i ${\displaystyle {\ce {N2}}}-$ produkten för den andra och tredje reaktionen eftersom ${\ce {N2}}$ är symmetrisk. Om vi ​​antar att den andra och tredje reaktionen har identiska reaktionshastigheter $(k_{1(3)}\equiv k_{1(2)}$ , $k_{2(3)}\equiv k_{2(2)}$ och $k_{3(3)} \equiv k_{3(2)})$ , de fullständiga GEBIK- och GEBIF-ekvationerna är

${\frac {{\ce {d}}[{\ce {^0_2S}}]}{ {\ce {d}}t}}={k}_{2(1)}{\ce {C1}}-{k}_{1(1)}{\ce {^0_2S E}}$

${\frac {{\ce {d}}[{\ce {^{1} _{2}S^{\beta }}}]}{{\ce {d}}t}}={k}_{2(2)}{\ce {C2}}-{k}_{1 (2)}{\ce {^{1}_{2}S^{\beta }E}}$

${\frac {{\ce {d}}[{\ce {^{1}_{2}S^{\gamma }}}]}{{\ce {d}}t }}={k}_{2(2)}{\ce {C3}}-{k}_{1(2)}{\ce {^{1}_{2}S^{\gamma }E }}$

${\frac {{\ce {d}}{\ce {C1}}}{{\ce {d}}t}}={k}_{1(1)}{\ce {^0_2S E}}-({k}_{2(1)}+{ k}_{3(1)}){\ce {C1}}$

${\frac {{\ce {d}}{\ce {C2}}}{{\ce {d}}t}}={k}_{1(2)}{\ce {^{ 1}_{2}S^{\beta }E}}-({k}_{2(2)}+{k}_{3(2)}){\ce {C2}}$

${\frac {{\ce {d}}{\ce {C3}} }{{\ce {d}}t}}={k}_{1(2)}{\ce {^{1}_{2}S^{\gamma }E}}-({k}_ {2(2)}+{k}_{3(2)}){\ce {C3}}$

${\frac {{\ ce {d}}[{\ce {^0_2P}}]}{{\ce {d}}t}}={k}_{3(1)}{\ce {C1}}$

${\frac {{\ce {d}}[{\ce {^1_2P}}]}{{\ce {d}} t}}={k}_{3(2)}({\ce {C2}}+{\ce {C3}})$

${\frac {{\ce {d}}{\ce {E}}}{{\ce {d}}t}}=z{\frac {{ \ce {d}}B}{{\ce {d}}t}}-{\frac {{\ce {d}}{\ce {C1}}}{{\ce {d}}t}} -{\frac {{\ce {d}}{\ce {C2}}}{{\ce {d}}t}}-{\frac {{\ce {d}}{\ce {C3}} }{{\ce {d}}t}}$

${\frac {{\ce {d}}B}{{\ce {d}}t}}=Y\left({\frac {{\ce {d}}[{\ce {^0_2P}}]}{{\ce {d }}t}}+{\frac {{\ce {d}}[{\ce {^1_2P}}]}{{\ce {d}}t}}\right)-\mu B$

$R_{P}(t)={\frac {15\ {\ce {^1_2P}}( t)}{14\ {\ce {^1_2P}}(t)+29\ {\ce {^0_2P}}(t)}}$

${\displaystyle {\ce {IR_P}}(t)={\dfrac {15\ ({\ce {C2}}+{\ce {C3}}){k}_{3(2)}}{29\ ​​{\ce {C1}}{k}_{3(1)}+14\ ({\ ce {C2}}+{\ce {C3}}){k}_{3(2)}}},} R S ($

$R_ {S}(t)={\frac {165\ {\ce {^1_2S}}}{154\ {\ce {^1_2S}}+315\ {\ce {^0_2S}}}}}$

$\alpha (t)={\frac {7\ ({\ce {C2}}+{\ce {C3}}){k}_{3(2)}[45\ {\ ce {^{0}_{2}S}}+22\ {\ce {^{1}_{2}S}}]}{11\ [29\ {\ce {C1}}{k}_ {3(1)}+14\ ({\ce {C2}}+{\ce {C3}}){k}_{3(2)}]\ {_{2}^{1}}{\ ce {S}}}}$

Exempel på tillämpning av GEBIK och GEBIF under BFEI- och QSS-hypoteser

Samma reaktion kan beskrivas med GEBIK- och GEBIF-ekvationerna under BFEI- och QSS-approximationerna som

${\frac {{\ce { d}}[{^{0}_{2}}{\ce {S}}]}{{\ce {d}}t}}\simeq -{\frac {{k}_{3(1) }E_{0}{^{0}_{2}}{\ce {S}}}{^{0}_{2}{\ce {S}}+{\ce {K1}}\left( 1+{\dfrac {{^{1}_{2}}{\ce {S}}^{\beta }}{\ce {K2}}}+{\dfrac {{^{1}_{2 }}{\ce {S}}^{\gamma }}{\ce {K2}}}\right)}}$

${\frac {{\ce {d}}[{^{1}_{2}}{\ce {S}}^{\beta }]}{{\ce {d}}t}}\simeq -{\frac {{k}_{3(2)}E_{0}{^{1}_{ 2}}{\ce {S}}^{\beta }}{^{1}_{2}{\ce {S}}^{\beta }+{\ce {K2}}\left(1+ {\dfrac {{^{0}_{2}}{\ce {S}}}{\ce {K1}}}+{\dfrac {{^{1}_{2}}{\ce {S }}^{\gamma }}{\ce {K2}}}\right)}}$

${\frac {{\ce {d}}[{^{1}_{2}}{\ce {S}}^{\ gamma }]}{{\ce {d}}t}}\simeq -{\frac {{k}_{3(2)}E_{0}{^{1}_{2}}{\ce { S}}^{\gamma }}{^{1}_{2}{\ce {S}}^{\gamma }+{\ce {K2}}\left(1+{\dfrac {{^{ 0}_{2}}{\ce {S}}}{\ce {K1}}}+{\dfrac {{^{1}_{2}}{\ce {S}}^{\beta } }{\ce {K2}}}\right)}}$

${\frac {{\ce {d}}{_{2}^{ 0}}{\ce {P}}}{{\ce {d}}t}}=-{\frac {{\ce {d}}[{^{0}_{2}}{\ce { S}}]}{{\ce {d}}t}}$

${\frac {{\ce {d}}{_{2}^{1}}{\ce {P}}}{{\ce {d}}t}}=-{\frac {{\ce {d}} [{^{1}_{2}}{\ce {S}}^{\beta }]}{{\ce {d}}t}}-{\frac {{\ce {d}}[{ ^{1}_{2}}{\ce {S}}^{\gamma }]}{{\ce {d}}t}}$

$R_{P}(t)={\frac {15{_{2}^{1}}{\ce {P}}}{14{_{2}^{1}}{ \ce {P}}+29\ {_{2}^{0}}{\ce {P}}}}$

${\ce {IR_{P}}}(t)={\dfrac {15{\ce {K1}}{k} _{3(2)}{_{2}^{1}}{\ce {S}}}{29{\ce {K2}}{k}_{3(1)}{_{2}^ {0}}{\ce {S}}+14{\ce {K1}}{k}_{3(2)}{_{2}^{1}}{\ce {S}}}}$

$R_{S}(t)={\frac {465\ {_{2}^{1}}{\ ce {S}}}{14[63\ {_{2}^{0}}{\ce {S}}+31\ {_{2}^{1}}{\ce {S}}]} }$

${ \displaystyle \alpha (t)={\frac {14{\ce {K1}}{k}_{3(2)}[63\ {_{2}^{0}}{\ce {S}} +31\ {_{2}^{1}}{\ce {S}}]}{31[29{\ce {K2}}{k}_{3(1)}\ {_{2}^ {0}}{\ce {S}}+14{\ce {K1}}{k}_{3(2)}\ {_{2}^{0}}{\ce {S}}]} }}$

där ${\ce {K3}}$ har ersatts med ${\ce {K2}}$ eftersom hastighetskonstanterna i den tredje reaktionen har antagits vara lika med dem för den andra reaktionen.

Se även

• Jämviktsfraktionering
• Isotopelektrokemi