Överföringslängdsmetod

Transfer Length Method eller "Transmission Line Model" ( båda förkortade som TLM) är en teknik som används inom halvledarfysik och teknik för att bestämma den specifika kontaktresistiviteten mellan en metall och en halvledare. TLM har utvecklats eftersom med den pågående anordningskrympningen i mikroelektronik det relativa bidraget från kontaktresistansen vid metall-halvledargränssnitt i en anordning inte längre kunde försummas och en noggrann mätmetod för att bestämma den specifika kontaktresistiviteten krävdes.

Allmän beskrivning

Målet med överföringslängdmetoden (TLM) är bestämningen av den specifika kontaktresistiviteten $\rho _{C}$ för en metall-halvledarövergång . För att skapa en metall-halvledarövergång avsätts en metallfilm på ytan av ett halvledarsubstrat. TLM används vanligtvis för att bestämma den specifika kontaktresistiviteten när metall-halvledarövergången visar ohmskt beteende. I detta fall kan kontaktresistiviteten $\rho _{C}$ definieras som spänningsskillnaden $\Delta V$ över gränsskiktet mellan den avsatta metallen och halvledarsubstratet dividerat med strömmen densitet $J$ som definieras som strömmen $I$ dividerat med gränssnittsarean $A$ genom vilken strömmen passerar:

$\rho _{C}={\frac {\Delta V} {J}}={\frac {(V_{Halvledare}-V_{Metal})A}{I}}$

I denna definition av den specifika kontaktresistiviteten avser $V_{Seminductor}$ spänningsvärdet precis under metall-halvledargränssnittsskiktet medan ${\ displaystyle V_{Metal}}$ representerar spänningsvärdet precis ovanför metall-halvledargränssnittsskiktet. Det finns två olika metoder för att utföra TLM-mätningar som båda introduceras i resten av detta avsnitt. Den ena kallas just transfer length method medan den andra kallas circular transfer length method (c-TLM).

TLM

Grafisk beskrivning av överföringslängdmetoden (TLM)

För att bestämma den specifika kontaktresistiviteten $\rho _{C}$ avsätts en uppsättning rektangulära metallkuddar på ytan av ett halvledarsubstrat som det visas i bilden till höger. Definitionen av de rektangulära kuddarna kan göras genom att använda fotolitografi medan metallavsättningen kan göras med sputterdeponering , termisk förångning eller strömlös avsättning .

I bilden till höger ökar avståndet mellan dynorna $d_{i}$ från botten till toppen. Därför, när motståndet mellan intilliggande dynor mäts, ökar det totala motståndet $R_{Tot}$ i enlighet med detta, eftersom det indikeras i grafen under bilden av metallkuddarna. I denna graf abskissan avståndet $d$ mellan två intilliggande metallkuddar medan cirklarna representerar uppmätta resistansvärden. Den totala resistiviteten $R_{Tot}$ kan separeras i en komponent på grund av det otäckta halvledarsubstratet och en komponent som motsvarar spänningsfallet i två metalltäckta områden. Den förra komponenten kan beskrivas med formeln ${\displaystyle {\frac {R_{S}}{Z}}d_{i}} ,$ där $R_{S}$ representerar arket motståndet hos halvledarsubstratet och $Z$ bredden på metallkuddarna. Den andra komponenten som bidrar till den totala resistansen betecknas med $2R_{C}$ eftersom när två intilliggande pads karakteriseras måste två identiska metalliserade områden beaktas. Detta innebär att det totala motståndet kan skrivas i följande funktionella form, med paddistansen $d$ som oberoende variabel:

$R_{Tot}={\frac {R_{S}}{Z}}d+2R_{C}$

Om bidraget från själva metallskiktet försummas uppstår ${\displaystyle R_{C}} på grund av spänningsfallet$ metall-halvledargränssnittet såväl som i halvledarsubstratet under. Detta innebär att under en total resistansmätning sjunker spänningen exponentiellt (och därmed även strömtätheten) i de metalliska områdena (se även teoriavsnittet för ytterligare förklaring). Som det härleds i nästa avsnitt av denna artikel sker huvuddelen av spänningsfallet under en metallplatta inom längden ${\sqrt {\frac {\rho _{C}}{R_ {S}}}}$ som definieras som överföringslängden $L_{T}$ . Metaforiskt sett betyder detta att huvuddelen av området under en metallisk kontakt genom vilken ström kommer in i metallen via metall-halvledargränssnittet ges av överföringslängden multiplicerad med bredden på plattan Z {\displaystyle $}$ . Denna situation är också avbildad i figuren i detta avsnitt där strömtäthetsfördelningen under två intilliggande metallkuddar under en resistansmätning avbildas med en grön färg. Allt som allt betyder detta att (om metallplattans längd $w$ är mycket större än överföringslängden) att en relation mellan $R_{C}$ och $\rho _{ C}$ kan anges:

$R_{C}\approx {\frac {\rho _{C}}{ZL_{T}}}={\frac {\sqrt {R_ {S}\rho _{C}}}{Z}}$

Eftersom $R_{S}$ kan extraheras från en linjär passning genom datapunkterna och $R_{C}$ kan erhållas från y-skärningen av den linjära passningen en uppskattning av $\rho _{C}$ är möjligt.

Cirkulär TLM

Padstruktur för cirkulära transmissionsledningsmätningar (c-TLM)

Den ursprungliga TLM-metoden som beskrivs ovan har nackdelen att strömmen inte bara flyter inom området som ges av $d_{i}$ gånger $Z$ . Detta innebär att strömtäthetsfördelningen också sprider sig till de vertikala sidorna av metallplattorna i figuren i TLM-avsnittet, ett fenomen som inte beaktas i härledningen av formeln som beskriver R T o t {\displaystyle $}$ . För att ta hänsyn till detta geometriska problem istället för rektangulära metallplattor, används cirkulära dynor med radie $r_{i}$ som är åtskilda från en holoedrisk metallbeläggning med ett avstånd $d =r_{o}-r_{i}$ (se bilden till höger). När den totala resistansen mellan cirkulär dyna och holoedrisk beläggning mäts bidrar tre särskiljbara komponenter till det uppmätta värdet, nämligen gapresistansen $R_{Gap}$ och kontaktmotstånden vid den inre och yttre änden av gapet område ( $R_{i}$ och $R_{o}$ ). Detta uttrycks i följande formel:

$R_{Tot}=R_{Gap}+R_{i}+R_{o}$

Som kommer att härledas i teoriavsnittet ett uttryck för $R_{Tot}$ som tillåter extraktion av $\rho _{C}$ från experimentella data så länge som ${\ displaystyle r_{i}}$ är mycket större än $L_{T}$ :

$R_{Tot}\approx {\frac {R_{ S}}{2\pi }}\left[\ln \left({\frac {r_{o}}{r_{o}-d}}\right)+L_{T}\left({\frac { 1}{r_{o}-d}}+{\frac {1}{r_{o}}}\right)\right]$

I likhet med TLM-metoden ${ \displaystyle R_{Tot}(d)}$$R_{S}$ och $\rho _{C}$ erhållas med en multipel linjär regressionsanalys som använder datapar av och $d$ .

Teori

TLM

Motståndsnätverk för härledning av TLM differentialekvationer och en plottning av spänningsfallet över två intilliggande mätplattor

I det sista avsnittet introducerades grundprincipen för TLM och nu ges mer detaljer om den teoretiska bakgrunden. Huvudsyftet här är att hitta ett uttryck som relaterar den mätbara storheten $R_{C}$ den specifika kontaktresistiviteten $\rho _{C}$ som är avsedd att bestämmas med TLM. Därför illustreras i bilden till höger ett motståndsnätverk som beskriver situationen när en spänning appliceras mellan två intilliggande metallplattor. Motståndet ( ${\frac {R_{S}d_{i}}{Z}}$ ) i mitten tar hänsyn till den del som inte är täckt med metall medan resten beskriver situationen för metallkuddarna. De horisontella motståndselementen ( ${\displaystyle {\frac {R_{S}\Delta x}{Z}}})$ representerar resistansen på grund av halvledarsubstratet och de vertikala motståndselementen ( ${\displaystyle {\frac {\rho _{C}}{Z\Delta x}}} )$ ta hänsyn till motståndet på grund av metall-halvledargränsskiktet. I denna beskrivning beskriver par av horisontella och vertikala motståndselement situationen inom ett volymelement med längden $\Delta x$ i ett metalliskt padområde. Denna metod används också för att härleda telegrafens ekvationer som används för att beskriva överföringsledningarnas beteende . På grund av denna analogi kallas den beskrivna mättekniken i denna artikel ofta för transmissionslinjemetoden.

Genom att använda Kirchhoffs kretslagar erhålls följande uttryck för spänningen såväl som för strömmen inom det ovan betraktade längdelementet (läs kvadraten i figuren i detta avsnitt) för en stationär situation där både spänning och ström inte är en funktion av tid :

$V(x)={\frac {R_{S}\Delta xI(x)}{Z}}+ V(x+\Delta x)$

$I(x)={\frac {Z\Delta xV(x)} {\rho _{C}}}+I(x+\Delta x)$

Genom att ta gränsen $\Delta x\to 0$ erhålls följande två differentialekvationer:

${\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} x}}=-{\frac {R_{S}}{Z} }I(x)$

${\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} x}}=-{\frac {Z} {\rho _{C}}}V(x)$

Dessa två kopplade differentialekvationer kan separeras genom att differentiera den ena med avseende på $x$ så att den andra kan kopplas in. Genom att göra det slutligen erhålls två differentialekvationer som inte är beroende av varandra:

${\frac {\mathrm {d} ^{2}V2}{\mathrm {d} x^{2}}}={\ frac {R_{S}}{\rho _{C}}}V(x)$

${\frac {\mathrm {d} ^{ 2}I}{\mathrm {d} x^{2}}}={\frac {R_{S}}{\rho _{C}}}I(x)$

Båda differentialekvationerna har lösningar av formen $f(x)=Acosh(\alpha x)+Bsinh(\ alpha x)$ där $A$ och $B$ är konstanter som måste bestämmas genom att använda lämpliga randvillkor och $\alpha$ ges av ${ \sqrt {R_{S}/\rho _{C}}}$ . Två gränsvillkor kan erhållas genom att definiera såväl spänningen som strömmen i början av ett metallplattor som $V_{0}$ respektive $I_{0}$ . På ett formellt sätt betyder detta att $V(x=0)=V_{0}$ och $I(x=0)=I_{0 }$ när du använder inställningarna i figuren i detta avsnitt. Genom att använda paret av kopplade differentialekvationer ovan erhålls ytterligare två randvillkor, nämligen ${\frac {\mathrm {d} V(x=0)} {\mathrm {d} x}}=-{\frac {R_{S}}{Z}}I_{0}$ och ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} I(x=0)}{\mathrm {d} x}}=-{\frac {R_{S}}{Z}}V_{0}} vilket är inversen av det tidigare$ definierade överföringslängd $L_{T}$ . Så småningom erhålls två ekvationer, som beskriver spänningen och strömmen som en funktion av avståndet $x$ genom att använda de fyra angivna randvillkoren:

$V(x)=V_{O}\cosh {\left( {\sqrt {\frac {R_{S}}{\rho _{C}}}}x\right)}-{\frac {I_{0}{\sqrt {R_{s}\rho _{C} }}}{Z}}\sinh {\left({\sqrt {\frac {R_{S}}{\rho _{C}}}}x\right)}$

$I(x)=I_{O}\cosh {\left({\sqrt {\frac {R_{ S}}{\rho _{C}}}}x\right)}-{\frac {V_{0}Z}{\sqrt {R_{s}\rho _{C}}}}\sinh {\ vänster({\sqrt {\frac {R_{S}}{\rho _{C}}}}x\right)}$

När en mätning utförs kan det antas att ingen ström flyter i den motsatta änden av varje metallplatta, vilket i sin tur betyder att $I(x=w)=0$ . Detta möjliggör en ytterligare förfining av ekvationen som beskriver spänningen när man använder relationen sinh $\displaystyle \sinh(xy)=\sinh x\cosh y-\cosh x\sinh y}$ :

$V(x)={\frac {I_{O} {\sqrt {R_{S}\rho _{C}}}}{Z}}{\frac {\cosh {\left({\sqrt {\frac {R_{S}}{\rho _{C} }}}(wx)\right)}}{\sinh {\left({\sqrt {\frac {R_{S}}{\rho _{C}}}}w\right)}}}$

Den sista ekvationen beskriver spänningsfallet över området som täcks av en metallplatta (jämför med figuren i detta avsnitt). Genom att inse att motståndsvärdet $R_{C}$ uttryckas med ${\frac {V_{0}}{I_{0}}}$ och genom att sätta $x=0$ i den sista formeln kan ett uttryck hittas som relaterar $R_{C}$ till den specifika kontaktresistiviteten $\rho _{C}$ :

$R_{C }={\frac {V_{0}}{I_{0}}}={\frac {\sqrt {R_{S}\rho _{C}}}{Z}}{\frac {\cosh {\ vänster({\sqrt {\frac {R_{S}}{\rho _{C}}}}w\right)}}{\sinh {\left({\sqrt {\frac {R_{S}}{ \rho _{C}}}}w\right)}}}={\frac {\sqrt {R_{S}\rho _{C}}}{Z}}\coth {\left({\sqrt { \frac {R_{S}}{\rho _{C}}}}w\right)}$

Den sista ekvationen tillåter beräkningen av $\rho _{C}$ genom att använda experimentella data. Eftersom ${\displaystyle \coth {\left({\sqrt {\frac {R_{S}}{\rho _{C}}}}w\right)}} går till$ 1 när $w$ ökar och är betydligt större än överföringslängden ${\displaystyle L_{T}={\sqrt {\frac {\rho _{C}}{R_{S} }}}} ofta$ används uppskattningen $R_{C}\approx {\frac {\sqrt {R_{S}\rho _{C}}}{Z}}$ istället för den strikt härledda jämlikheten. Detta är identiskt med vad som angavs i avsnittet med allmänna beskrivningar. Sammanfattningsvis har spänningen såväl som strömmen som funktion av avståndet i området för en metallplatta härletts genom att använda en modell som liknar telegrafens ekvationer. Detta gjorde det möjligt att hitta ett uttryck som tillåter beräkningen av den specifika kontaktresistiviteten $\rho _{C}$ för metall-halvledarövergången genom att använda de experimentellt hittade storheterna $R_{C}$ och $R_{S}$ och bredden $Z$ på en metallplatta.

Cirkulär TLM

Infinitesimalt motståndsnätverk för härledning av c-TLM differentialekvationer

Den fysiska idén med att härleda differentialekvationer för c-TLM-metoden är densamma som för TLM men polära koordinater används istället för kartesiska koordinater . Detta ändrar motståndsnätverket som beskriver det metalltäckta området som kan ses i figuren till höger. Liksom för TLM erhålls två kopplade differentialekvationer genom att använda Kirchhoffs kretslagar.

${\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} r}}=-{\frac {R_{S}}{ 2\pi r}}I(r)$

${\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} r}}= -{\frac {2\pi r}{\rho _{C}}}V(r)$

När strömmen ${\displaystyle I} elimineras$ erhålls en annan ekvation för spänningen ${\displaystyle V} :$

${\frac {\mathrm {d} ^{2}V}{\mathrm {d} r^{2}} }+{\frac {1}{r}}{\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} r}}-{\frac {R_{S}}{\rho _{C}} }V=0$

En generell lösning på denna typ av differentialekvationer ges enligt följande, där $A$ och $B$ är ospecificerade konstanter och $\alpha$ är ${\ sqrt {R_{C}/\rho _{C}}}$ . Funktionerna $I_{0}$ och $K_{0}$ är nollordningens modifierade Bessel-funktioner av det första respektive andra slaget.

$V(r)=AI_{0}(\alpha r)+BK_{0}(\alpha r)$

Genom att använda de kopplade differentialekvationerna ovan och differentieringsreglerna för modifierade Bessel-funktioner ( $I_{0}'(x)=I_{1}(x)$ , $K_{0}'(x)=-K_{1}(x)$ ) ett uttryck för strömmen kan erhållas. Funktionerna $I_{1}$ och $K_{1}$ är första ordningens Bessel-funktioner av första respektive andra slaget.

$I(r)=-{\frac {2\pi r}{R_ {S}}}\vänster[A\alpha I_{1}(\alpha r)-B\alpha K_{1}(\alpha r)\right]$

Modifierade Bessel-funktioner av det första slaget, I _α ( x ) , för α = 0, 1, 2, 3

Modifierade Bessel-funktioner av det andra slaget, K _α ( x ) , för α = 0, 1, 2, 3

Nu efter att ha erhållit uttryck för såväl strömmen som för spänningen, måste uttryck för kontaktresistanserna som motsvarar den inre och yttre gränsen för gapområdet hittas (jämför med den schematiska illustrationen av mätmetalliseringen i det allmänna avsnittet) . Kontaktresistansen vid den inre gränsen ges av ${\displaystyle R_{i}={\frac {V(r_{i})}{|I(r_{i})|}}} och under en mätning är strömmen i mitten av den cirkulära metallplattan noll$ ( $I(r=0)=0$ ). Eftersom den modifierade Bessel-funktionen $K_{0}(r)$ tenderar mot oändligheten när ${\displaystyle r} tenderar mot noll (se figurerna till höger),$ har konstanten $B$ att vara noll eftersom spänningen inte kan vara oändlig. Med tanke på detta motsvarar kontaktmotståndet vid den inre gränsen av gapområdet:

$R_{i}={\frac {V(r_{i})}{|I(r_{i}) |}}={\frac {R_{S}}{2\pi r_{i}\alpha }}{\frac {I_{0}(\alpha r_{i})}{I_{1}(\alpha r_{i})}}$

På liknande sätt kan ett uttryck för kontaktmotståndet vid den yttre gränsen av gapområdet hittas när $r_{i}$ ersätts med $r_{o}$ (jämför med ritningen i det allmänna avsnittet). Här kan även ett gränsvillkor för strömmen anges, nämligen $I(r=\infty )=0$ . Detta betyder att A måste vara noll eftersom funktionen $I_{0}(r)$ tenderar till oändlighet (se figuren till höger) eftersom $r$ går till oändlighet. Detta betyder i sin tur att kontaktmotståndet vid den yttre gränsen för gapområdet ges av:

$R_{o}={\frac {V(r_{o})}{|I(r_{o}) |}}={\frac {R_{S}}{2\pi r_{o}\alpha }}{\frac {K_{0}(\alpha r_{o})}{K_{1}(\alpha r_{o})}}$

Resistansen på grund av själva gapområdet $R_{Gap}$ kan hittas genom att betrakta det horisontella differentialmotståndet ${\frac {R_{S}dr}{ 2\pi r}}$ i figuren i detta avsnitt och genom att integrera från $r_{i}$ till $r_{o}$ . Genom att lägga till $R_{i}$ , $R_{o}$ och $R_{Gap}$ kan ett uttryck för det totala motståndet ges:

$R_{Tot}={\frac {R_{S}}{2\pi }}\left[ln\left({\frac {r_{o }}{r_{i}}}\right)+{\frac {L_{T}}{r_{i}}}{\frac {I_{0}(r_{i}/L_{T})}{ I_{1}(r_{i}/L_{T})}}+{\frac {L_{T}}{r_{o}}}{\frac {K_{0}(r_{o}/L_{ T})}{K_{1}(r_{o}/L_{T})}}\höger]$

När den yttre och den inre radien är mycket större än överföringslängden $L_{T}$ är kvoterna för de modifierade Bessel-funktionerna ungefär en. Detta innebär att när $r_{i}$ ersätts med $ges$${$ Tot i det allmänna avsnittet hittas, som kan användas för att extrahera $R_{S}$ och $\rho _{C}$ från experimentella data:

$R_{Tot}\approx {\frac {R_{ S}}{2\pi }}\left[\ln \left({\frac {r_{o}}{r_{o}-d}}\right)+L_{T}\left({\frac { 1}{r_{o}-d}}+{\frac {1}{r_{o}}}\right)\right]$

Praktiskt exempel

Strömspänningsdiagram motsvarande c-TLM-mätserier. Den gröna pilen indikerar en ökning av spaltavståndet från 20 µm till 200 µm.

Rita av det totala motståndet mot gaplängden motsvarande en c-TLM-mätserie. Cirklarna representerar mätdata medan kurvan representerar en passning enligt texten.

I detta avsnitt presenteras ett praktiskt exempel på en c-TLM-mätning. Genom att använda fotolitografi och sputterdeposition avsattes metalliska c-TLM-kuddar på ytan av en tunn halvledarfilm. Mellanrummen mellan c-TLM-kuddarna varierade mellan 20 µm och 200 µm medan stegstorlekar på 20 µm valdes. För att erhålla värden för den totala resistansen som motsvarar varje c-TLM-dyna, utfördes strömspänningsmätningar över varje gapavstånd. Plottet till vänster visar de registrerade mätdata, där den gröna pilen indikerar en ökning av spaltlängden. Kurvorna är linjära (vilket bevisar att det finns en ohmsk kontakt mellan metall- och halvledarskiktet) och värdet på det totala motståndet för varje c-TLM-dyna erhålls genom att ta inversen av lutningen .

För extraktion av $L_{T}$ , $R_{S}$ och den specifika kontaktresistiviteten $\rho _{C}$ erhålls ekvationen för det totala motståndet $R_{Tot}$ skrivs om enligt följande, med $A={\frac {R_{S}}{2\pi }}$ , ${\displaystyle g(d)={\frac {r_{i}+d}{r_{i}}}} , B$ = $displaystyle B={ \frac {\sqrt {R_{S}\rho _{C}}}{2\pi }}}$ och $h(d)={\ frac {1}{r_{i}}}+{\frac {1}{r_{i}+d}}$ :

${\displaystyle R_{Tot}(d)=Ag(d)+Bh(d)$ }

Denna omskrivning gjordes för att komprimera notationen och även för att i detta specifika exempel hölls den inre diametern ${\displaystyle r_{i}} konstant för varje c-TLM-platta.$ Eftersom 10 mätningar av $R_{Tot}$ utfördes -var och en motsvarar en annan gaplängd ${\displaystyle d_{i}} - kan ett system av linjära$ erhållas, som kan skrivas i matris - vektorform .

${\begin{bmatrix}R(d_{1})\\R(d_{2} )\\\vdots \\R(d_{10})\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}g(d_{1})&h(d_{1})\\g(d_{2}) &h(d_{1})\\\vdots &\vdots \\g(d_{10})&h(d_{10})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A\\B\end{bmatrix }}+{\begin{bmatrix}\epsilon (d_{1})\\\epsilon (d_{2})\\\vdots \\\epsilon (d_{10})\end{bmatrix}}$

Vektorn på vänster sida innehåller värdena från resistansmätningarna ${\displaystyle R(d_{i})} ,$ alla uppvisar ett mätfel $\epsilon (d_{ i})$ . Därför läggs en mätfelsvektor till matris-vektorprodukten. Innan du fortsätter skrivs matris-vektorekvationen i en mer kompakt form:

$\mathbf {R} =X{\begin{bmatrix}A\\B\end{bmatrix}}+\mathbf {E}$

Målet är att hitta värden på $A$ och $B$ så att den euklidiska normen för felvektorn $\mathbf {E}$ blir minimal. Med denna premiss måste felvektorn vara normal mot kolumnutrymmet för X $\displaystyle \mathbf {X} } ,$ vilket betyder att $X^{T}\mathbf {E} =\mathbf {0 }$ . Detta betyder att multiplikation av matris-vektorekvationen med den transponerade matrisen av $X$ ger:

${\begin{bmatrix}A\\B\end{bmatrix}}={(X^{T}X)}^{-1} X^{T}\mathbf {R}$ .

Eftersom alla komponenter i $X$ kan beräknas och komponenterna i $\mathbf {R}$ tillhandahålls av resistansmätningarna, kan koefficienterna $A$ och $B$ beräknas. Slutligen från de två koefficienterna kan värdena för $L_{T}$ , $R_{S}$ och den specifika kontaktresistiviteten $\rho _{C}$ beräknas också. Ett diagram till vänster visar de uppmätta resistansvärdena i beroende av spaltlängden tillsammans med anpassningsfunktionen som motsvarar de bestämda koefficienterna $A$ och $B$ .

Följande GNU Octave- skript motsvarar den utförda mätserien och inkluderar även de erhållna resistansvärdena. En plottning av mätpunkterna tillsammans med anpassningsfunktionen skapas och värdena för ${\displaystyle L_{T}} ,$ R $\displaystyle R_{S}}$ och den specifika kontaktresistiviteten $\rho _{C}$ beräknas också.

   
           
  


  
  
    


   


  
  
  


  0
      


 
 
 





   
   
    %vektorer som innehåller de erhållna mätdata  d  =  20  :  20  :  200  ;  #denna vektor innehåller mellanrumslängderna  R_row  =  [  112.258772  ,  125.071437  ,  130.619235  ,  138.959548  ,  139.110758  ,  148.420932 , 148.420932   ,  148.420932  , 148.14812   ,  148. .670412  ,  167.614947  ]  ;  R  =  transponera  (  R_rad  );  %Här definieras kolumnvektorerna för X  r_i  =  200  ;  xl  =  transponera  (  log  ((  r_i  .  +  d  )  /  r_i  ));  x2  =  transponera  (  1.  /  (  r_i  .  +  d  )  +  1  /  r_i  );  %Definiera matrisen X  X  =  [  x1  ,  x2  ];  %Hämta värdena A och B  beta  =  inv  (  transponera  (  X  )  *  X  )  *  transponera  (  X  )  *  R  ;  A  =  beta  (  1  );  B  =  beta  (  2  );  %Definiera passningsfunktionen  d_fit  =  :  1  :  200  ;  R_fit  =  A  *  log  ((  r_i  .  +  d_fit  )  /  r_i  )  +  B  *  (  1.  /  (  r_i  .  +  d_fit  )  +  1  /  r_i  );  %Plotta anpassningsfunktionen och mätvärdena  sprids  (  d  ,  R  ,  "r" )  ;  håll  ut  ;  plot  (  d_fit  ,  R_fit  );  set  (  gca  ,  'fontsize'  ,  14  );  xlabel  (  'Gaplängd [µm]'  );  ylabel  (  'Total Resistance [Ohm]')  ;  % Beräkna de fysikaliska egenskaperna  R_S  =  A  *  2  *  pi  ;  #given i ohm  L_T  =  2  *  pi  *  B  /  R_S  ;  #given i µm  rho_c  =  (  R_S  *  (  L_T  )  ^  2  )  *  10  ^  (  -8  )  ;  #givet i Ohm*cm^2 

Se även

• Fyra terminal avkänning – Metod för att mäta elektrisk impedans
• Van der Pauw-metoden – Ett noggrant sätt att mäta resistans och hallspänning

Vidare läsning

• Gary Tuttle, avdelningen för elektro- och datorteknik, Iowa State University. "Kontaktresistans och TLM-mätningar" (PDF) . {{ citera webben }} : CS1 underhåll: flera namn: lista över författare ( länk )