Zeemans jämförelsesats

Inom homologisk algebra ger Zeemans jämförelsesats , introducerad av Christopher Zeeman ( Zeeman ( 1957 )), förutsättningar för att en morfism av spektralsekvenser ska vara en isomorfism.

Påstående

Jämförelsesats — Låt ${\displaystyle E_{p,q}^{r},{}^{\prime }E_{p,q}^{r}} vara$ först kvadrantspektralsekvenser av platta moduler över en kommutativ ring och $f:E^{r}\to {}^{\prime }E^{r}$ en morfism mellan dem. Då innebär två av följande påståenden det tredje:

$f:E_{2}^{p,0}\to {}^{\prime }E_{2}^{p,0}$ är en isomorfism för varje p .
$f:E_{2}^{0,q}\to {}^{\prime }E_{2}^{0,q}$ är en isomorfism för varje q .
$f:E_{\infty }^{p,q}\to {}^{\prime }E_{\infty }^{p,q}$ är en isomorfism för varje p , q .

Illustrativt exempel

Som en illustration skissar vi beviset för Borels sats , som säger att kohomologiringen i ett klassificerande utrymme är en polynomring.

Först och främst, med G som Lie-grupp och med $\mathbb {Q}$ som koefficientring, har vi Serre-spektralsekvensen ${\displaystyle E_{2}^{p,q$ för fibreringen $G\to EG\to BG$ . Vi har: $E_{\infty }\simeq \mathbb {Q}$ eftersom EG är sammandragbar. Vi har också en sats av Hopf som säger att $H^{*}(G;\mathbb {Q} )\simeq \Lambda (u_ {1},\dots ,u_{n})$ , en yttre algebra genererad av ändligt många homogena element.

Därefter låter vi $E(i)$ vara spektralsekvensen vars andra sida är $E(i)_{ 2}=\Lambda (x_{i})\otimes \mathbb {Q} [y_{i}]$ och vars icke-triviala differentialer på den r -:e sidan ges av $d (x_{i})=y_{i}$ och den graderade Leibniz-regeln. Låt ${}^{\prime }E_{r}=\otimes _{i}E_{r}(i)$ . Eftersom kohomologin pendlar med tensorprodukter när vi arbetar över ett fält, ${}^{\prime }E_{r}$ återigen en spektralsekvens så att ${}^{\prime }E_{\infty }\simeq \mathbb {Q} \otimes \dots \otimes \mathbb {Q} \simeq \mathbb {Q}$ . Sen låter vi

f:{}^{\prime }E_{r}\to E_{r},\,x_{i}\mapsto u_{i}.

Notera, per definition ger f isomorfismen ${}^{\prime }E_{r}^{0,q}\simeq E_{r}^{0,q}=H^{q}(G;\mathbb {Q} ).$ A avgörande punkt är att f är en " ringhomomorfism "; detta vilar på de tekniska förutsättningarna att $u_{i}$ är "överskridande" (jfr Hatcher för detaljerad diskussion om denna fråga.) Efter att denna tekniska punkt är uppmärksam, drar vi slutsatsen: $E_{2}^{p,0}\simeq {}^{\prime }E_{2}^{p,0}$ som ring av jämförelsesatsen; dvs $E_{2}^{p,0}=H^{p}(BG;\mathbb {Q} )\simeq \mathbb {Q} [y_{1},\dots ,y_{n}].$

McCleary, John (2001), A User's Guide to Spectral Sequences , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 58 (andra upplagan), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-56759-6 , MR 1793722
Roitberg, Joseph; Hilton, Peter (1976), "On the Zeeman comparison theorem for the homology of quasi-nilpotent fibrations" (PDF) , The Quarterly Journal of Mathematics , Second Series, 27 (108): 433–444, doi : 10.1093/qmath/ 27.4.433 , ISSN 0033-5606 , MR 0431151
Zeeman, Erik Christopher (1957), "A proof of the comparison theorem for spectral sequences", Proc. Cambridge Philos. Soc. , 53 : 57–62, doi : 10.1017/S0305004100031984 , MR 0084769