Whittaker–Shannon interpolationsformel

Whittaker –Shannon-interpolationsformeln eller sinc-interpolation är en metod för att konstruera en kontinuerlig tidsbandbegränsad funktion från en sekvens av reella tal. Formeln går tillbaka till verk av E. Borel 1898 och ET Whittaker 1915, och citerades från verk av JM Whittaker 1935, och i formuleringen av Nyquist-Shannons samplingssats av Claude Shannon 1949. Det är även kallad Shannons interpolationsformel och Whittakers interpolationsformel . ET Whittaker, som publicerade den 1915, kallade den Cardinal-serien .

Definition

Figuren till vänster visar en funktion (i grått/svart) som samplas och rekonstrueras (i guld) med stadigt ökande provdensiteter, medan figuren till höger visar frekvensspektrumet för den grå/svarta funktionen, som inte ändras . Den högsta frekvensen i spektrumet är ½ av hela spektrumets bredd. Bredden på den stadigt ökande rosa skuggningen är lika med samplingshastigheten. När den omfattar hela frekvensspektrumet är den dubbelt så stor som den högsta frekvensen, och det är då den rekonstruerade vågformen matchar den samplade.

Givet en följd av reella tal, x [ n ], den kontinuerliga funktionen

x(t)=\summa _{n=-\infty }^{\infty }x [n]\,{\rm {sinc}}\left({\frac {t-nT}{T}}\right)\,

(där "sinc" betecknar den normaliserade sinc-funktionen ) har en Fouriertransform , X ( f ), vars värden som inte är noll är begränsade till regionen | f | ≤ 1/(2T ) . När parametern T har enheter av sekunder, har bandgränsen , 1/(2 T ), enheter av cykler/sek ( hertz ). När x [ n ]-sekvensen representerar tidssampel, vid intervall T , av en kontinuerlig _funktion , är kvantiteten fs = 1/ T känd som samplingshastigheten , och fs /2 är motsvarande Nyquist-frekvens _. När den samplade funktionen har en bandgräns, B , mindre än Nyquist-frekvensen, är x ( t ) en perfekt rekonstruktion av den ursprungliga funktionen. (Se Samplingssatsen .) Annars "viks" frekvenskomponenterna ovanför Nyquist-frekvensen in i sub-Nyquist-regionen av X ( f ), vilket resulterar i distorsion. (Se Aliasing .)

Motsvarande formulering: faltning/lågpassfilter

Interpolationsformeln härleds i Nyquist–Shannons samplingssatsartikel , som påpekar att den också kan uttryckas som faltningen av ett oändligt impulståg med en sinc-funktion :

x(t)=\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot \underbrace {x(nT)} _{x[n]}\cdot \delta \left (t-nT\right)\right)\circledast \left({\frac {1}{T}}{\rm {sinc}}\left({\frac {t}{T}}\right)\right ).

Detta motsvarar att filtrera impulståget med ett idealiskt ( tegelvägg ) lågpassfilter med en förstärkning på 1 (eller 0 dB) i passbandet. Om samplingshastigheten är tillräckligt hög betyder detta att basbandsbilden (den ursprungliga signalen före sampling) skickas oförändrad och de andra bilderna tas bort av tegelväggsfiltret.

Konvergens

Interpolationsformeln konvergerar alltid absolut och lokalt enhetligt så länge som

\sum _{n\in \mathbb {Z} ,\,n\neq 0}\left|{\frac {x[n]}{n}}\right|<\infty .

Med Hölder-olikheten uppfylls detta om sekvensen $(x[n])_{n\in \mathbb {Z} }$ tillhör någon av $\ell ^{p}(\mathbb {Z} ,\mathbb {C} )$ mellanslag med 1 ≤ p < ∞, dvs.

\sum _{n\in \mathbb {Z} }\left|x[n]\right|^{p}<\infty .

Detta villkor är tillräckligt, men inte nödvändigt. Till exempel kommer summan i allmänhet att konvergera om sampelsekvensen kommer från sampling av nästan vilken stationär process som helst , i vilket fall sampelsekvensen inte är kvadratisk summerbar och inte är i någon $\ell ^{ p}(\mathbb {Z} ,\mathbb {C} )$ mellanslag.

Stationära slumpmässiga processer

Om x [ n ] är en oändlig sekvens av sampel av en sampelfunktion av en stationär process med bred bemärkelse , så är den inte en medlem av något $\ell ^{p}$ eller L ^p -rymd , med sannolikhet 1; det vill säga, den oändliga summan av sampel upptagna till en potens p inte har ett ändligt förväntat värde. Inte desto mindre konvergerar interpolationsformeln med sannolikhet 1. Konvergens kan lätt visas genom att beräkna varianserna för trunkerade termer i summeringen och visa att variansen kan göras godtyckligt liten genom att välja ett tillräckligt antal termer. Om processmedelvärdet inte är noll, måste termpar övervägas för att också visa att det förväntade värdet av de trunkerade termerna konvergerar till noll.

Eftersom en slumpmässig process inte har en Fouriertransform måste villkoret under vilket summan konvergerar till den ursprungliga funktionen också vara annorlunda. En stationär slumpmässig process har en autokorrelationsfunktion och därmed en spektral densitet enligt Wiener-Khinchin-satsen . Ett lämpligt villkor för konvergens till en sampelfunktion från processen är att processens spektrala täthet är noll vid alla frekvenser lika med och över halva samplingshastigheten.

Se även