Weingartens ekvationer

Weingartenekvationerna ger expansionen av derivatan av enhetsnormalvektorn till en yta i termer av de första derivatorna av positionsvektorn för en punkt på ytan. Dessa formler fastställdes 1861 av den tyske matematikern Julius Weingarten .

Påstående i klassisk differentialgeometri

Låt S vara en yta i det tredimensionella euklidiska rummet som parametriseras av positionsvektorn r ( u , v ). Låt P = P ( u , v ) vara en punkt på ytan. Sedan

$\mathbf {r} _{u}={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}},\quad \ mathbf {r} _{v}={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}$

är två tangentvektorer i punkten P .

Låt n ( u , v ) vara enhetsnormalvektorn och låt ( E , F , G ) och ( L , M , N ) vara koefficienterna för den första respektive andra grundformen av denna yta. Weingartens ekvation ger den första derivatan av enhetens normalvektor n i punkt P i termer av tangentvektorerna r _u och r _v :

$\mathbf {n} _{u}={\frac {FM-GL}{ EG-F^{2}}}\mathbf {r} _{u}+{\frac {FL-EM}{EG-F^{2}}}\mathbf {r} _{v}$

$\mathbf {n} _{v}={\frac {FN-GM}{EG-F ^{2}}}\mathbf {r} _{u}+{\frac {FM-EN}{EG-F^{2}}}\mathbf {r} _{v}$

Detta kan uttryckas kompakt i indexnotation som

$\partial _{a}\mathbf {n} =K_{a}^{~b}\mathbf {r} _{b}$ ,

där K _ab är komponenterna i ytans andra grundform (formtensor).

Anteckningar

• Weisstein, Eric W. "Weingarten Equations" . MathWorld .
• Springer Encyclopedia of Mathematics , Weingartens härledningsformler
•   Struik, Dirk J. (1988), Lectures on Classical Differential Geometry , Dover Publications, sid. 108, ISBN 0-486-65609-8
•   Erwin Kreyszig , Differential Geometry , Dover Publications, 1991, ISBN 0-486-66721-9 , avsnitt 45.