Weingarten funktion

I matematik är Weingarten-funktioner rationella funktioner indexerade av partitioner av heltal som kan användas för att beräkna integraler av produkter av matriskoefficienter över klassiska grupper . De studerades först av Weingarten (1978) som fann deras asymptotiska beteende och namngavs av Collins (2003), som utvärderade dem explicit för den enhetliga gruppen .

Enhetsgrupper

Weingarten-funktioner används för att utvärdera integraler över den enhetliga gruppen U _d av produkter av matriskoefficienter i formen

$\int _{U_{d}}U_{i_{ 1}j_{1}}\cdots U_{i_{q}j_{q}}U_{i_{1}^{\prime }j_{1}^{\prime }}^{*}\cdots U_{i_ {q}^{\prime }j_{q}^{\prime }}^{*}dU,$

där $*$ anger komplex konjugation. Observera att $U_{ji}^{*}=(U^{\dolk })_{ij}$ där $U^{\dolk }$ är den konjugerade transponeringen av $U$ , så man kan tolka uttrycket ovan som att det är för $i_ {1}j_{1}\ldots i_{q}j_{q}j'_{1}i'_{1}\ldots j'_{q}i'_{q}$ matriselement av $U\otimes \cdots \otimes U\otimes U^{\dolk }\otimes \cdots \otimes U^{\dolk }$ .

Denna integral är lika med

$\sum _{\sigma ,\tau \in S_{q}}\delta _{i_{1}i_{\sigma (1)}^{\prime }}\cdots \delta _{i_{q}i_{\sigma (q)}^{\prime }}\delta _{j_{1}j_{\tau (1)}^{\prime }}\cdots \delta _{j_{ q}j_{\tau (q)}^{\prime }}W\!g(\sigma \tau ^{-1},d)$

där Wg är Weingarten-funktionen, given av

$W\!g(\sigma ,d)={\frac {1}{q!^{2}}} \sum _{\lambda }{\frac {\chi ^{\lambda }(1)^{2}\chi ^{\lambda }(\sigma )}{s_{\lambda ,d}(1)}}$

där summan är över alla partitioner λ av q ( Collins 2003) . Här är χ ^λ karaktären av S _q som motsvarar partitionen λ och s är Schur-polynomet för λ, så att s _{λ d} (1) är dimensionen för representationen av U _d som motsvarar λ.

Weingarten-funktionerna är rationella funktioner i d . De kan ha poler för små värden på d , som tar bort i formeln ovan. Det finns en alternativ inekvivalent definition av Weingarten-funktioner, där man bara summerar över partitioner med högst d delar. Detta är inte längre en rationell funktion av d , utan är ändlig för alla positiva heltal d . De två sorterna av Weingarten-funktioner sammanfaller för d större än q , och båda kan användas i formeln för integralen.

Värden för Weingarten-funktionen för enkla permutationer

De första Weingarten-funktionerna Wg (σ, d ) är

$\displaystyle W\!g(,d)=1$ (Det triviala fallet där q = 0)

$\displaystyle W\ !g(1,d)={\frac {1}{d}}$

$\displaystyle W\!g(2,d) ={\frac {-1}{d(d^{2}-1)}}$

$\displaystyle W\!g(1^{2 },d)={\frac {1}{d^{2}-1}}$

$\displaystyle W \!g(3,d)={\frac {2}{d(d^{2}-1)(d^{2}-4)}}$

$\displaystyle W\!g(21,d)={\frac {-1}{(d^{2}-1)(d^{2}-4 )}}$

$\displaystyle W\!g(1^{3},d)={ \frac {d^{2}-2}{d(d^{2}-1)(d^{2}-4)}}$

där permutationer σ betecknas med deras cykelformer.

Det finns datoralgebraprogram för att producera dessa uttryck.

Explicita uttryck för integralerna i de första fallen

De explicita uttrycken för integralerna av första- och andragradspolynom, erhållna via formeln ovan, är:

$$\int _{U_{d}}dUU_{ij}{\bar {U}}_{k\ell }=\delta _{ik}\delta _{j\ell}\operatörsnamn {Wg} ( 1,d)={\frac {\delta _{ik}\delta _{j\ell }}{d}}.$$

$$\int _{U_{d}}dUU_{ij}U_{k\ell }{\bar {U}}_{mn}{\bar {U}}_{pq}=(\delta _{ im}\delta _{jn}\delta _{kp}\delta _{\ell q}+\delta _{ip}\delta _{jq}\delta _{km}\delta _{\ell n}) \operatörsnamn {Wg} (1^{2},d)+(\delta _{im}\delta _{jq}\delta _{kp}\delta _{\ell n}+\delta _{ip}\ delta _{jn}\delta _{km}\delta _{\ell q})\operatörsnamn {Wg} (2,d).$$

Asymptotiskt beteende

För stort d har Weingarten-funktionen Wg det asymptotiska beteendet

$W\!g(\sigma ,d)=d^{-n-|\sigma |}\prod _{i}(-1) ^{|C_{i}|-1}c_{|C_{i}|-1}+O(d^{-n-|\sigma |-2})$

där permutationen σ är en produkt av cykler med längden Ci , och c _{n =} (2 n )!/ n !( n + 1)! är ett katalanskt tal och |σ| är det minsta antalet transpositioner som σ är en produkt av. Det finns en schematisk metod för att systematiskt beräkna integralerna över enhetsgruppen som en potensserie i 1/d .

Ortogonala och symplektiska grupper

För ortogonala och symplektiska grupper utvärderades Weingarten-funktionerna av Collins & Śniady (2006) . Deras teori liknar fallet med den enhetliga gruppen. De parametriseras av partitioner så att alla delar har jämn storlek.

externa länkar

•   Collins, Benoît (2003), "Moment and cumulants of polynomial random variables on unitary groups, the Itzykson-Zuber integral, and free probability", International Mathematics Research Notices , 2003 (17): 953–982, arXiv : math-ph/ 0205010 , doi : 10.1155/S107379280320917X , MR 1959915
•    Collins, Benoît; Śniady, Piotr (2006), "Integration with respect to the Haar measure on unitary, ortogonal and symplectic group", Communications in Mathematical Physics , 264 (3): 773–795, arXiv : math-ph/0402073 , Bibcode : 2006CMaPh. 264..773C , doi : 10.1007/s00220-006-1554-3 , MR 2217291 , S2CID 16122807
•   Weingarten, Don (1978), "Asymptotic behavior of group integrals in the limit of infinite rank", Journal of Mathematical Physics , 19 (5): 999–1001, Bibcode : 1978JMP....19..999W , doi : 10.1063 /1,523807 , MR 0471696