Wavelet för multidimensionell signalanalys

Wavelets används ofta för att analysera bitvis jämna signaler. Wavelet-koefficienter kan effektivt representera en signal som har lett till datakomprimeringsalgoritmer som använder wavelets. Wavelet-analys utökas även för flerdimensionell signalbehandling . Den här artikeln introducerar några metoder för waveletsyntes och analys för flerdimensionella signaler. Det förekommer även utmaningar som riktningsförmåga i flerdimensionella fall.

Flerdimensionell separerbar diskret wavelet-transform (DWT)

Den diskreta wavelet-transformen utvidgas till det flerdimensionella fallet med användning av tensorprodukten från välkända 1-D wavelets. I 2-D till exempel bryts tensorproduktutrymmet för 2-D upp i fyra tensorproduktvektorrum som

(φ(x) ⨁ ψ(x)) ⊗ (φ(y) ⨁ ψ(y)) = { φ(x)φ(y), φ(x)ψ(y), ψ(x)φ(y ), ψ(x)ψ(y) }

Detta leder till konceptet med flerdimensionell separerbar DWT som i princip liknar den flerdimensionella DFT.

φ(x)φ(y) ger approximationskoefficienterna och andra delband:

φ(x)ψ(y) låg-hög (LH) delband,

ψ(x)φ(y) hög-låg (HL) delband,

ψ(x)ψ(y) hög-hög (HH) subband,

ge detaljkoefficienter.

Implementering av flerdimensionell separerbar DWT

Wavelet-koefficienter kan beräknas genom att skicka signalen som ska sönderdelas genom en serie filter. I fallet med 1-D finns det två filter på varje nivå - ett lågpass för approximation och ett högpass för detaljerna. I det flerdimensionella fallet beror antalet filter på varje nivå på antalet tensorproduktvektorrum. För MD krävs 2 M filter på alla nivåer. Var och en av dessa kallas ett subband. Delbandet med alla lågpass (LLL...) ger approximationskoefficienterna och alla övriga ger detaljkoefficienterna på den nivån. Till exempel, för M=3 och en signal med storleken N1 × N2 × N3 , kan en separerbar DWT implementeras enligt följande:

Figuren visar 3D-separerbar DWT-procedur genom att tillämpa 1-D DWT för varje dimension och dela upp data i bitar för att erhålla wavelets för olika delband

Genom att applicera 1-D DWT-analysfilterbanken i dimension N1 delas den nu upp i två bitar av storleken N1⁄2 . × N2 × N3 Genom att tillämpa 1-D DWT i N2 -dimensionen delas var och en av dessa bitar i ytterligare två bitar av N1 ⁄ 2 × N2 ⁄ 2 × N3 . Detta upprepas i 3D ger totalt 8 bitar av storlek N1 ⁄ 2 × N2 ⁄ 2 × N3 ⁄ 2 .

Figuren visar 3D-analysfilterbanken för 3D-separerbar DWT

Nackdelar med MD separable DWT

De vågor som genereras av den separerbara DWT-proceduren är mycket skiftvarianter. En liten förskjutning i insignalen ändrar wavelet-koefficienterna i stor utsträckning. Dessutom är dessa vågor nästan lika stora i alla riktningar och reflekterar således inte den orientering eller riktning som kan finnas i den flerdimensionella signalen. Det kan till exempel finnas en kantdiskontinuitet i en bild eller ett objekt som rör sig smidigt längs en rak linje i dimensionen rum-tid 4D. En separerbar DWT fångar inte helt upp detsamma. För att övervinna dessa svårigheter utvecklades en metod för wavelet-transformation som kallas Complex wavelet-transform (CWT).

Flerdimensionell komplex wavelet-transform

I likhet med den 1-D komplexa wavelet-transformen anses tensorprodukter av komplexa wavelets producera komplexa wavelets för multidimensionell signalanalys. Med ytterligare analys kan man se att dessa komplexa wavelets är orienterade. Denna typ av orientering hjälper till att lösa signalens riktningsambiguitet.

Implementering av multidimensionell (MD) dubbelträd CWT

Dual tree CWT i 1-D använder 2 riktiga DWT, där den första ger den verkliga delen av CWT och den andra DWT ger den imaginära delen av CWT. MD dual tree CWT analyseras i termer av tensorprodukter. Emellertid är det möjligt att implementera MD CWT:er effektivt genom att använda separerbara MD DWTs och beakta summan och skillnaden av erhållna delband. Dessutom tenderar dessa vågor att vara orienterade i specifika riktningar.

Två typer av orienterade MD CWTs kan implementeras. Med tanke på endast den reella delen av tensorprodukten av vågor erhålls verkliga koefficienter. Alla wavelets är orienterade i olika riktningar. Detta är 2 m gånger så expansivt där m är måtten.

Om både verkliga och imaginära delar av tensorprodukterna av komplexa vågor beaktas, erhålls komplext orienterad dubbelträd-CWT som är 2 gånger mer expansiv än reellt orienterad dubbelträd-CWT. Så det finns två vågor orienterade i var och en av riktningarna. Även om implementering av komplex orienterad dubbelträdstruktur kräver mer resurser, används den för att säkerställa en ungefärlig skiftinvariansegenskap som en komplex analytisk wavelet kan tillhandahålla i 1-D. I 1-D-fallet krävs det att den reella delen av vågen och den imaginära delen är Hilbert-transformpar för att vågen ska vara analytisk och uppvisa skiftinvarians. På liknande sätt i MD-fallet är de verkliga och imaginära delarna av tensorprodukter gjorda för att vara ungefärliga Hilbert-transformpar för att vara analytiska och skiftinvarianta.

Tänk på ett exempel för 2-D dubbelträd verkligt orienterad CWT:

Låt ψ(x) och ψ(y) vara komplexa vågor:

ψ(x) = ψ(x) h + j ψ(x) g och ψ(y) = ψ(y) h + j ψ(y) g .

ψ(x,y) = [ψ(x) h + j ψ(x) g ][ ψ(y) h + j ψ(y) g ] = ψ(x) h ψ(y) h - ψ(x ) g ψ(x) g + j [ψ(x) h ψ(y) g - ψ(x) h ψ(x) g ]

Stödet för Fourierspektrumet för waveleten ovan ligger i den första kvadranten. När bara den reella delen beaktas, har Real(ψ(x,y)) = ψ(x) h ψ(y) h - ψ(x) g ψ(x) g stöd på motsatta kvadranter (se (a) i figur). Både ψ(x) h ψ(y) h och ψ(x) g ψ(y) g motsvarar HH-delbandet för två olika separerbara 2-D DWT. Denna wavelet är orienterad vid -45 o .

På liknande sätt, genom att betrakta ψ 2 (x, y) = ψ(x)ψ(y) * , erhålls en wavelet orienterad vid 45 o . För att erhålla 4 fler orienterade reella vågor, beaktas φ(x)ψ(y) , ψ(x)φ(y) , φ(x)ψ(y) * och ψ(x)φ(y) * .

Implementeringen av komplex orienterad dubbelträdstruktur görs enligt följande: Två separerbara 2D DWT:er implementeras parallellt med hjälp av filterbankstrukturen som i föregående avsnitt. Sedan ger den lämpliga summan och skillnaden mellan olika delband (LL, LH, HL, HH) orienterade wavelets, totalt 6 stycken.

Figuren visar Fourierstödet för alla 6 orienterade wavelets erhållna av en 2-D reellt orienterad dubbelträd CWT

På liknande sätt, i 3-D, behövs 4 separerbara 3-D DWTs parallellt och totalt erhålls 28 orienterade wavelets.

Nackdel med MD CWT

Även om MD CWT tillhandahåller en med orienterade vågor, är dessa orienteringar endast lämpliga för att representera orienteringen längs den (m-1): e dimensionen av en signal med m dimensioner. När singulariteter i grenrör med lägre dimensioner beaktas, såsom ett bi som rör sig i en rät linje i 4D-rum-tiden, behövs orienterade vågor som är jämna i grenrörets riktning och snabbt ändras i den riktning som är normal mot den. . En ny transformation, Hypercomplex Wavelet-transform, utvecklades för att lösa detta problem.

Hyperkomplex wavelet-transform

Dual tree hypercomplex wavelet transform (HWT) som utvecklats i består av en standard DWT-tensor och 2 m-1 wavelets erhållna från att kombinera 1-D Hilbert-transformen av dessa wavelets längs n-koordinaterna. Speciellt består en 2-D HWT av standard 2-D separerbar DWT-tensor och tre ytterligare komponenter:

H x {ψ(x) h ψ(y) h } = ψ(x) g ψ(y) h

H y {ψ(x) h ψ(y) h } = ψ(x) h ψ(y) g

H x H y {ψ(x) h ψ(y) h } = ψ(x) g ψ(y) g

För 2D-fallet benämns detta dubbelträdskvaternionvågtransform ( QWT ) . Den totala redundansen i MD är 2 m tät ram.

Riktad hyperkomplex wavelet-transform

Den hyperkomplexa transformationen som beskrivs ovan tjänar som en byggsten för att konstruera den riktade hyperkomplexa vågtransformen (DHWT) . En linjär kombination av vågorna erhållna med hjälp av den hyperkomplexa transformationen ger en våg orienterad i en viss riktning. För 2-D DHWT ser man att dessa linjära kombinationer motsvarar det exakta 2-D dubbelträd CWT-fallet. För 3-D kan DHWT betraktas i två dimensioner, en DHWT för n = 1 och en annan för n = 2 . För n = 2 , n = m-1 , så, som i 2-D-fallet, motsvarar detta 3-D dubbelträd CWT. Men fallet med n = 1 ger upphov till en ny DHWT-transform. Kombinationen av 3-D HWT-vågor görs på ett sätt för att säkerställa att den resulterande vågen är lågpass längs 1-D och bandpass längs 2-D. I, detta användes för att detektera linjesingulariteter i 3D-rymden.

Utmaningar framöver

Wavelet-transformerna för flerdimensionella signaler är ofta beräkningsmässigt utmanande vilket är fallet med de flesta flerdimensionella signaler. Metoderna för CWT och DHWT är också redundanta även om de erbjuder riktning och skiftinvarians.

externa länkar

Hämtad från " https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Wavelet_for_multidimensional_signals_analysis&oldid=1102862370 "