Vysochanskij–Petunin ojämlikhet

I sannolikhetsteorin ger , Petunin olikheten Vysochanskij– en nedre gräns för sannolikheten att en stokastisk variabel med ändlig varians ligger inom ett visst antal standardavvikelser av variabelns medelvärde eller motsvarande en övre gräns för sannolikheten att den ligger längre bort. De enda begränsningarna för fördelningen är att den är unimodal och har finit varians . (Detta innebär att det är en kontinuerlig sannolikhetsfördelning utom vid läget , som kan ha en sannolikhet som inte är noll.) Satsen gäller även för kraftigt snedfördelningar och sätter gränser för hur mycket av datan som är eller inte är "i mitten."

Sats

Låt X vara en slumpvariabel med unimodal fördelning, medelvärde μ och finit, icke-noll varians σ ² . Sedan, för alla ${\textstyle \lambda >{\sqrt {\frac {8}{3}}}=1,63299...,}$

$P(\left|X-\mu \right|\geq \lambda \sigma )\leq {\frac {4}{9\lambda ^{2}}}.$

(För ett relativt elementärt bevis se t.ex. ). Vidare uppnås likheten för en stokastisk variabel med sannolikheten 1 − 4/(3 λ ² ) att vara exakt lika med medelvärdet, och som, när den inte är lika med medelvärdet, är jämnt fördelad i ett intervall centrerat på den elaka. När ${\textstyle \lambda <{\sqrt {\frac {8}{3}}},}$ finns det icke-symmetriska fördelningar för vilka ${\textstyle {\frac {4} Gränsen för {9\lambda ^{2}}}}$ har överskridits.

Egenskaper

Teoremet förfinar Chebyshevs ojämlikhet genom att inkludera faktorn 4/9, möjliggjort av villkoret att fördelningen är unimodal.

Det är vanligt, vid konstruktion av kontrolldiagram och annan statistisk heuristik, att sätta λ = 3 , motsvarande en övre sannolikhetsgräns på 4/81= 0,04938..., och att konstruera 3-sigma- gränser för att binda nästan alla (dvs. 95 %) av värdena för en processutgång. Utan unimodalitet skulle Chebyshevs ojämlikhet ge en lösare gräns på 1/9 = 0,11111... .

Ensidig version

En förbättrad version av Vysochanskij-Petunin-ojämlikheten för ensidiga svansgränser finns. För en unimodal slumpvariabel $X$ med medelvärde $\mu$ och varians $\sigma ^{2}$ , och $r\geq 0$ , är en- ensidig Vysochanskij-Petunin ojämlikhet gäller enligt följande:

$\mathbb {P} (X-\mu \geq r)\leq {\begin{cases}{\dfrac {4}{9}}{\dfrac {\sigma ^{2}}{r^{ 2}+\sigma ^{2}}}&{\mbox{för }}r^{2}\geq {\dfrac {5}{3}}\sigma ^{2},\\{\dfrac {4 }{3}}{\dfrac {\sigma ^{2}}{r^{2}+\sigma ^{2}}}-{\dfrac {1}{3}}&{\mbox{annars.} }\end{cases}}$

Den ensidiga Vysochanskij-Petunin-ojämlikheten, liksom den relaterade Cantelli-ojämlikheten , kan till exempel vara relevanta på det finansiella området, i betydelsen "hur illa kan förluster bli".

Se även

• Gauss olikhet , ett liknande resultat för avståndet från läget snarare än medelvärdet
• Treregel (statistik), ett liknande resultat för Bernoulli-fördelningen

• DF Vysochanskij, YI Petunin (1980). "Motivering av 3σ-regeln för unimodala distributioner". Sannolikhetsteori och matematisk statistik . 21 : 25–36.
• Rapport (om cancerdiagnos) av Petunin och andra med angivande av teorem på engelska