Vortexplåt

Ett virvelark är en term som används inom vätskemekanik för en yta över vilken det finns en diskontinuitet i vätskehastigheten , såsom att ett lager av vätska glider över ett annat. Medan de tangentiella komponenterna av flödeshastigheten är diskontinuerliga över virvelskivan, är den normala komponenten av flödeshastigheten kontinuerlig. Diskontinuiteten i tangentiell hastighet betyder att flödet har oändlig virvel på ett virvelark.

Vid höga Reynolds-tal tenderar virvelark att vara instabila. I synnerhet kan de uppvisa Kelvin-Helmholtz-instabilitet .

Formuleringen av vortexarkets rörelseekvation ges i termer av en komplex koordinat $z=x+iy$ . Arket beskrivs parametriskt av $z(s,t)$ där $s$ är båglängden mellan koordinaten $z$ och en referenspunkt, och $t$ är tid. Låt $\gamma (s,t)$ beteckna arkets styrka, det vill säga hoppet i den tangentiella diskontinuiteten. Då är det hastighetsfält som induceras av arket

${{\displaystyle {\frac *}}{\partial t}}=-{\frac {\imath }{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {\gamma (s',t )\mathrm {d} s'}{z(s,t)-z(s',t)}}}$

Integralen i ovanstående ekvation är en Cauchy-huvudvärdeintegral. Vi definierar nu $\Gamma$ som den integrerade arkstyrkan eller cirkulationen mellan en punkt med båglängden $s$ och referensmaterialets punkt $s=0$ i arket.

$\Gamma (s,t)=\int \limits _{ 0}^{s}\gamma (s',t)\mathrm {d} s'\qquad \mathrm {and} \qquad {\frac {\mathrm {d} \Gamma }{\mathrm {d} s} }=\gamma (s,t)$

Som en konsekvens av Kelvins cirkulationssats, i frånvaro av yttre krafter på arket, förblir cirkulationen mellan två valfria materialpunkter i arket bevarad, så $\mathrm {d} \Gamma /\ mathrm {d} t=0$ . Rörelseekvationen för arket kan skrivas om i termer av $\Gamma$ och $t$ genom att ändra variabel. Parametern $s$ ersätts med $\Gamma$ . Det är,

${\frac {\partial z^{*}}{\partial }}=-{\frac {\imath }{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\Gamma '}{z(\Gamma ,t)- z(\Gamma ',t)}}$

Denna olinjära integro-differentialekvation kallas Birkoff-Rott-ekvationen. Den beskriver utvecklingen av virvelskiktet givet initiala förhållanden. Mer information om virvelark finns i läroboken av Saffman (1977).

Diffusion av ett virvelark

När ett virvelark kommer det att diffundera på grund av viskös verkan. Betrakta ett plant enkelriktat flöde vid $t=0$ ,

u={\begin{cases}+U,&{\text{for }}y>0\\-U,&{\text{ för }}y<0\end{cases}}

antyder närvaron av ett virvelark vid $y=0$ . Hastighetsdiskontinuiteten jämnar ut enl

u(y,t)={\frac {U}{2{\sqrt {\pi \nu t}}}}\left[\int _{0}^{\infty }e^{-( sy)^{2}/4\nu t}\mathrm {d} s-\int _{0}^{\infty }e^{-(s+y)^{2}/4\nu t}\ mathrm {d} s\höger].

där $\nu$ är den kinematiska viskositeten . Den enda virvelkomponenten som inte är noll är i $z$ -riktningen, givet av

\omega _{z}=-{\frac {U}{\sqrt {\pi \nu t}}}e^{-y ^{2}/4\nu t}

.

Vortexark med periodiska gränser

Ett platt virvelark med periodiska gränser i strömriktningen kan användas för att modellera ett temporalt fritt skjuvlager vid högt Reynolds-tal. Låt oss anta att intervallet mellan de periodiska gränserna är av längden $1$ . Då minskar vortexskiktets rörelseekvation till

${\frac {\partial z^{*}}{\ partiell t}}=-{\frac {\imath }{2}}\int \limits _{0}^{1}\cot \pi (z(\Gamma ,t)-z(\Gamma ',t) )\;d\Gamma '$

Kontinuerlig virvelplåtsapproximation med panelmetod. Upprullning av ett virvelark på grund av en initial sinusformad störning.

Observera att integralen i ovanstående ekvation är en Cauchy-huvudvärdeintegral. Initialvillkoret för ett platt virvelark med konstant styrka är $z(\Gamma ,0)=\Gamma$ . Det platta virvelskiktet är en jämviktslösning. Den är dock instabil mot oändliga periodiska störningar av formen $\sum _{k=-\infty }^{\infty }A_{k}\mathrm {e} ^{\imath 2\pi k\Gamma }$ . Linjär teori visar att Fourierkoefficienten $A_{k}$ växer exponentiellt med en hastighet som är proportionell mot $k$ . Det vill säga, högre vågnummer för ett Fourierläge, desto snabbare växer det. Emellertid kan en linjär teori inte utsträckas mycket längre än initialtillståndet. Om icke-linjära interaktioner beaktas, tyder asymptotisk analys på att för stora $k$ och finita ${\displaystyle t<t_{c}} ,$ där $t_{c}$ är en kritiskt värde, avtar Fourierkoefficienten $A_{k}$ exponentiellt. Vortex-arklösningen förväntas förlora analyticitet vid den kritiska tidpunkten. Se Moore (1979) och Meiron, Baker och Orszag (1983).

Vortexplåtlösningen som ges av Birkoff-Rotts ekvation kan inte gå längre än den kritiska tiden. Den spontana förlusten av analyticitet i ett virvelark är en konsekvens av matematisk modellering eftersom en verklig vätska med viskositet, hur liten den än är, aldrig kommer att utveckla singularitet. Viskositet fungerar som en utjämnings- eller regleringsparameter i en riktig vätska. Det har gjorts omfattande studier på ett virvelark, de flesta av dem genom diskret eller punktvirvelapproximation, med eller utan desingularisering. Med hjälp av en punktvirvelapproximation och delta-regularisering erhöll Krasny (1986) en mjuk upprullning av ett virvelark till en dubbelgrenad spiral. Eftersom punktvirvlar i sig är kaotiska är ett Fourier-filter nödvändigt för att kontrollera tillväxten av avrundningsfel. Kontinuerlig approximation av ett virvelark genom virvelpaneler med bågvis diffusion av cirkulationsdensiteten visar också att arket rullas upp till en dubbelgrenad spiral.

I många tekniska och fysiska tillämpningar är tillväxten av ett temporalt fritt skjuvskikt av intresse. Tjockleken på ett fritt skjuvskikt mäts vanligtvis med momentumtjocklek, vilket definieras som

$\theta =\int \limits _{y=-\infty }^{\infty }\left({ \frac {1}{4}}-\left({\frac {\left\langle u\right\rangle }{2U}}\right)^{2}\right)\mathrm {d} y$

där $\left\langle u\right\rangle ={\frac {1}{L}}\int _{0}^{ L}\ u(x,y,t)dx$ och $U$ är friströmshastigheten. Momenttjocklek har dimensionen längd och den icke-dimensionella momenttjockleken ges av $\theta _{ND}=\theta /L$ . Momenttjocklek kan användas för att mäta tjockleken på ett virvelskikt.

Se även