Volkenborn integral

Inom matematik, inom området p-adisk analys , är Volkenborn -integralen en metod för integration för p-adiska funktioner.

Definition

Låt : ${\displaystyle f:\mathbb {Z} _{p}\to \mathbb {C} _{p}} vara$ en funktion från de p-adiska heltal som tar värden i p- adic-nummer. Volkenborn-integralen definieras av gränsen, om den finns:

$\int _{\mathbb {Z} _{p}}f(x)\,{\rm {d}}x=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{p ^{n}}}\summa _{x=0}^{p^{n}-1}f(x).$

Mer generellt, om

$R_{n}=\left\{\left.x=\sum _{i=r}^{n-1}b_{i}x ^{i}\right|b_{i}=0,\ldots ,p-1{\text{ för }}r<n\right\}$

sedan

$\int _{K}f(x)\,{\rm {d}}x=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{p^{n}}}\summa _{x\in R_{n}\cap K}f(x).$

Denna integral definierades av Arnt Volkenborn.

Exempel

$\int _{\mathbb {Z} _{p}}1\,{\rm {d}}x=1$

${ \displaystyle \int _{\mathbb {Z} _{p}}x\,{\rm {d}}x=-{\frac {1}{2}}}$

$\int _{\mathbb {Z} _{p}}x^{2}\,{\rm {d}}x={\frac {1}{6}}$

$\int _{\mathbb {Z} _{p}}x^{k}\,{\rm {d}}x=B_{k}$

där $B_{k}$ är det k:te Bernoulli-talet .

Ovanstående fyra exempel kan enkelt kontrolleras genom direkt användning av definitionen och Faulhabers formel .

$\int _{\mathbb {Z} _{p}}{x \choose k}\,{\rm {d}} x={\frac {(-1)^{k}}{k+1}}$

$\int _{\ mathbb {Z} _{p}}(1+a)^{x}\,{\rm {d}}x={\frac {\log(1+a)}{a}}$

$\int _{\mathbb {Z} _{p}}e^{ax}\,{\rm {d}}x={\frac {a}{ e^{a}-1}}$

De två sista exemplen kan formellt kontrolleras genom att expandera i Taylor-serien och integrera termiskt.

$\int _{\mathbb {Z} _{p}}\log _{p}(x+u)\,{ \rm {d}}u=\psi _{p}(x)$

med $\log _{p}$ den p-adiska logaritmiska funktionen och $\psi _{p}$ den p-adiska digammafunktionen .

Egenskaper

$\int _{\mathbb {Z} _{p}} f(x+m)\,{\rm {d}}x=\int _{\mathbb {Z} _{p}}f(x)\,{\rm {d}}x+\summa _{x =0}^{m-1}f'(x)$

Av detta följer att Volkenborn-integralen inte är translationsinvariant.

Om $P^{t}=p^{t}\mathbb {Z} _{p}$ så

$\int _{P^{t}}f(x)\,{\rm {d}} x={\frac {1}{p^{t}}}\int _{\mathbb {Z} _{p}}f(p^{t}x)\,{\rm {d}}x$

Se även

• P-adisk distribution

• Arnt Volkenborn: Ein p-adisches Integral und seine Anwendungen I. I: Manuscripta Mathematica. Bd. 7, Nr. 4, 1972, [1]
• Arnt Volkenborn: Ein p-adisches Integral und seine Anwendungen II. I: Manuscripta Mathematica. Bd. 12, Nr. 1, 1974, [2]
• Henri Cohen, "Number Theory", Volym II, sidan 276