Virtuell värdering

I auktionsteorin , särskilt Bayesiansk-optimal mekanismdesign , är en virtuell värdering av en agent en funktion som mäter det överskott som kan extraheras från den agenten.

En typisk applikation är en säljare som vill sälja en vara till en potentiell köpare och vill bestämma det optimala priset. Det optimala priset beror på köparens värdering av varan, $v$ . Säljaren känner inte till $v$ exakt, men han antar att $v$ är en slumpvariabel, med någon kumulativ fördelningsfunktion $F(v)$ och sannolikhetsfördelningsfunktion $f(v):=F'(v)$ .

Den virtuella värderingen av agenten definieras som:

r(v):=v-{\frac {1-F(v)}{f(v)}}

Ansökningar

En nyckelsats från Myerson säger att:

Den förväntade vinsten för varje sanningsenlig mekanism är lika med dess förväntade virtuella överskott.

I fallet med en enskild köpare innebär detta att priset $p$ ska bestämmas enligt ekvationen:

r(p)=0

Detta garanterar att köparen kommer att köpa föremålet, om och endast om hans virtuella värdering är svagt positiv, så säljaren kommer att ha en svagt positiv förväntad vinst.

Detta är exakt lika med det optimala försäljningspriset – det pris som maximerar det förväntade värdet av säljarens vinst, givet fördelningen av värderingar:

p=\operatörsnamn {argmax} _{v}v\cdot (1-F(v))

Virtuella värderingar kan användas för att konstruera Bayesiansk-optimala mekanismer även när det finns flera köpare, eller olika objekttyper.

Exempel

1. Köparens värdering har en kontinuerlig enhetlig fördelning i $[0,1]$ . Så:

$F(v)=v{\text{ i }}[0,1]$
$f(v)=1{\text{ i }}[0,1]$
$r(v)=2v-1{\text{ i }}[0,1]$
${\displaystyle r^{-1}(0)=1/2} ,$ så det optimala priset för en enda artikel är 1/2.

2. Köparens värdering har en normalfördelning med medelvärde 0 och standardavvikelse 1. $w(v)$ är monotont ökande, och korsar x -axeln ca 0,75, så detta är det optimala priset. Korsningspunkten flyttas rätt när standardavvikelsen är större.

Regelbundenhet

En sannolikhetsfördelningsfunktion kallas regelbunden om dess virtuella värderingsfunktion är svagt ökande. Regelbundenhet är viktig eftersom det innebär att det virtuella överskottet kan maximeras genom en sanningsenlig mekanism .

Ett tillräckligt villkor för regelbundenhet är monoton riskhastighet, vilket betyder att följande funktion är svagt ökande:

r(v):={\frac {f(v)}{1-F(v)}}

Monotone-hazard-rate innebär regelbundenhet, men motsatsen är inte sant.

Beviset är enkelt: den monotona riskfrekvensen innebär $-{\frac {1}{r(v)}}$ ökar svagt i $v$ och därför den virtuella värderingen $v-{\frac {1}{r(v)}}$ ökar strikt i $v$ .

Se även