Verbal aritmetik

Verbal aritmetik , även känd som alphametics , kryptoritmetik , kryptoritm eller ordtillägg , är en typ av matematiskt spel som består av en matematisk ekvation bland okända siffror , vars siffror representeras av bokstäver i alfabetet. Målet är att identifiera värdet på varje bokstav. Namnet kan utökas till pussel som använder icke-alfabetiska symboler istället för bokstäver.

Ekvationen är vanligtvis en grundläggande aritmetikoperation , såsom addition , multiplikation eller division . Det klassiska exemplet, publicerat i julinumret 1924 av Strand Magazine av Henry Dudeney , är:

${\begin{matrix}&&{\text{S}}&{\text{E}}&{\text{N}}&{ \text{D}}\\+&&{\text{M}}&{\text{O}}&{\text{R}}&{\text{E}}\\\hline =&{\text {M}}&{\text{O}}&{\text{N}}&{\text{E}}&{\text{Y}}\\\end{matris}}$

Lösningen på detta pussel är O = 0, M = 1, Y = 2, E = 5, N = 6, D = 7, R = 8 och S = 9.

Traditionellt bör varje bokstav representera en annan siffra, och (som en vanlig aritmetisk notation) får den inledande siffran i ett flersiffrigt tal inte vara noll. Ett bra pussel bör ha en unik lösning, och bokstäverna ska utgöra en fras (som i exemplet ovan).

Verbal aritmetik kan vara användbar som motivation och källa till övningar i undervisningen i algebra .

Historia

Kryptaritmiska pussel är ganska gamla och deras uppfinnare är okänd. Ett exempel från 1864 i The American Agriculturist motbevisar den populära uppfattningen att den uppfanns av Sam Loyd . Namnet "kryptaritm" myntades av puzzlisten Minos (pseudonym för Simon Vatriquant) i majnumret 1931 av Sphinx, en belgisk tidskrift för rekreationsmatematik, och översattes till "kryptaritmetisk" av Maurice Kraitchik 1942. 1955 introducerade JAH Hunter ordet "alphametic" för att beteckna kryptoritmer, såsom Dudeneys, vars bokstäver bildar meningsfulla ord eller fraser.

Typer av kryptoritmer

Richard Feynmans skelettdelningspussel – varje A representerar samma siffra, och varje punkt varje siffra som inte representeras av A

Typer av kryptoritm inkluderar den alfametiska, den digimetiska och skelettdelningen.

Alfametisk

En typ av kryptoritm där en uppsättning ord skrivs ner i form av en lång additionssumma eller något annat matematiskt problem. Syftet är att ersätta bokstäverna i alfabetet med decimalsiffror för att göra en giltig aritmetisk summa.

Digimetic

En kryptoritm där siffror används för att representera andra siffror.

Skelettdelning

En lång division där de flesta eller alla siffror ersätts med symboler (vanligtvis asterisker) för att bilda en kryptoritm.

Omvänd kryptoritm

En sällsynt variant där en formel skrivs och lösningen är motsvarande kryptoritm vars lösning är den angivna formeln.

Lösa kryptoritmer

Att lösa en kryptoritm för hand innebär vanligtvis en blandning av avdrag och uttömmande tester av möjligheter. Till exempel löser följande sekvens av avdrag Dudeneys SEND+MER = PENGAR-pussel ovan (kolumnerna är numrerade från höger till vänster):

${\begin{matrix}&&{\text{S}}&{\text{E}}&{\text{N}}&{ \text{D}}\\+&&{\text{M}}&{\text{O}}&{\text{R}}&{\text{E}}\\\hline =&{\text {M}}&{\text{O}}&{\text{N}}&{\text{E}}&{\text{Y}}\\\end{matris}}$

1. Från kolumn 5 är M = 1 eftersom det är den enda möjliga överföringen från summan av två ensiffriga tal i kolumn 4.
2. Eftersom det finns en överföring i kolumn 5 måste O vara mindre än eller lika med M (från kolumn 4). Men O kan inte vara lika med M, så O är mindre än M. Därför är O = 0 .
3. Eftersom O är 1 mindre än M är S antingen 8 eller 9 beroende på om det finns en överföring i kolumn 4. Men om det fanns en överföring i kolumn 4 skulle N vara mindre än eller lika med O (från kolumn 3). Detta är omöjligt eftersom O = 0. Därför finns det ingen överföring i kolumn 3 och S = 9 .
4. Om det inte fanns någon överföring i kolumn 3 så är E = N, vilket är omöjligt. Därför finns det en bärare och N = E + 1.
5. Om det inte fanns någon överföring i kolumn 2, då (N + R) mod 10 = E, och N = E + 1, så (E + 1 + R) mod 10 = E vilket betyder (1 + R) mod 10 = 0 , så R = 9. Men S = 9, så det måste finnas en överföring i kolumn 2 så R = 8 .
6. För att producera en bär i kolumn 2 måste vi ha D + E = 10 + Y.
7. Y är minst 2 så D + E är minst 12.
8. De enda två par tillgängliga siffror som summerar till minst 12 är (5,7) och (6,7) så antingen E = 7 eller D = 7.
9. Eftersom N = E + 1 kan E inte vara 7 för då är N = 8 = R så D = 7 .
10. E kan inte vara 6 för då är N = 7 = D så E = 5 och N = 6 .
11. D + E = 12 så Y = 2 .

Ett annat exempel på TO+GO=OUT (källan är okänd):

${\begin{matrix}&&{\text{T}}&{\text{O}}\\+&&{\text{G}}&{\text{ O}}\\\hline =&{\text{O}}&{\text{U}}&{\text{T}}\\\end{matris}}$

1. Summan av de två största tvåsiffriga talen är 99+99=198. Så O=1 och det finns en överföring i kolumn 3.
2. Eftersom kolumn 1 är till höger om alla andra kolumner, är det omöjligt för den att bära. Därför 1+1=T och T=2 .
3. Eftersom kolumn 1 hade beräknats i det sista steget är det känt att det inte finns en carry i kolumn 2. Men det är också känt att det finns en carry i kolumn 3 i det första steget. Därför 2+G≥10. Om G är lika med 9 skulle U vara lika med 1, men detta är omöjligt eftersom O också är lika med 1. Så endast G=8 är möjligt och med 2+8=10+U, U=0 .

Användningen av modulär aritmetik hjälper ofta. Användning av mod-10 aritmetik gör till exempel att kolumnerna i ett additionsproblem kan behandlas som samtidiga ekvationer , medan användningen av mod-2 aritmetik tillåter slutledningar baserade på variablernas paritet .

Inom datavetenskap ger kryptoritmer bra exempel för att illustrera brute force -metoden, och algoritmer som genererar alla permutationer av m val från n möjligheter. Till exempel kan Dudeney-pusslet ovan lösas genom att testa alla tilldelningar av åtta värden bland siffrorna 0 till 9 till de åtta bokstäverna S,E,N,D,M,O,R,Y, vilket ger 1 814 400 möjligheter. De ger också bra exempel för att backa upp paradigm för algoritmdesign .

Annan information

När det generaliseras till godtyckliga baser är problemet med att avgöra om en kryptoritm har en lösning NP-komplett . (Generaliseringen är nödvändig för hårdhetsresultatet eftersom det i bas 10 bara finns 10 möjliga tilldelningar av siffror till bokstäver, och dessa kan kontrolleras mot pusslet i linjär tid.)

Alfametik kan kombineras med andra nummerpussel som Sudoku och Kakuro för att skapa kryptiska Sudoku och Kakuro .

Längsta alphametics

Anton Pavlis konstruerade en alphametic 1983 med 41 tillägg:

SÅ+MÅNGA+FLERA+MÄN+VERKAR+SÄGA+ATT+ DE+

KAN+SNART+FÖRSÖKA+BO+BO+HEMMA+

SÅ+SOM+ATT+SE+ELLER+HÖRA+SAMMA+EN+

MAN+FÖRSÖKA +ATT+MÖTA+TEAMET+PÅ+

MÅNEN+SOM+HAN+HAR+PÅ+DE+ANDRA+TIO

=TEST

(Svaret är att MÅNGA=2764195083.)

Se även

• Diofantisk ekvation
• Matematiska pussel
• Permutation
• Pussel
• Sideways Arithmetic From Wayside School - En bok vars handling kretsar kring dessa pussel
• Kryptogram

• Martin Gardner , matematik, magi och mysterium . Dover (1956)
• Journal of Recreational Mathematics , hade en vanlig alfabetisk kolumn.
• Jack van der Elsen, Alphametics . Maastricht (1998)
• Kahan S., Har några summor att lösa: The complete alphametics book, Baywood Publishing, (1978)
• Brooke M. Hundra och femtio pussel i krypteringsarithmetik. New York: Dover, (1963)
• Hitesh Tikamchand Jain, ABC of Cryptarithmetic/Alphametics. Indien (2017)

externa länkar

• Lösning med Matlab-kod och handledning
• Kryptaritmer vid cut-the-knoten
• Weisstein, Eric W. "Alphametic" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Kryptaritmetisk" . MathWorld .
• Alfametik och kryptoritmer

Alfametiska lösare

• Alphametics Solver!
• Alphametics Pussellösare
• Android-app för att lösa Crypt Arithmatic-problem
• Alphametic Solver skriven i Python
• Ett onlineverktyg för att skapa och lösa alfametik och kryptoriter
• Ett onlineverktyg för att lösa, skapa, lagra och hämta alphametics - över 4000 engelska alphametics tillgängliga med lösningar