Van Hiele modell

Inom matematikundervisningen är Van Hiele-modellen en teori som beskriver hur elever lär sig geometri . Teorin har sitt ursprung 1957 i doktorsavhandlingarna av Dina van Hiele-Geldof och Pierre van Hiele (hustru och make) vid Utrecht University , i Nederländerna . Sovjeterna forskade om teorin på 1960-talet och integrerade sina resultat i sina läroplaner. Amerikanska forskare gjorde flera stora studier om van Hiele-teorin i slutet av 1970-talet och början av 1980-talet, och drog slutsatsen att elevernas låga van Hiele-nivåer gjorde det svårt att lyckas med bevisorienterade geometrikurser och gav råd om bättre förberedelser på tidigare årskurser. Pierre van Hiele publicerade Structure and Insight 1986 och beskrev ytterligare sin teori. Modellen har i hög grad påverkat geometriläroplaner över hela världen genom betoning på att analysera egenskaper och klassificering av former på tidiga årskurser. I USA har teorin påverkat geometristrängen i standarderna som publicerats av National Council of Teachers of Mathematics och de nya Common Core Standards .

Van Hiele nivåer

Eleven lär sig utan vidare att arbeta med [matematiska] relationer som han inte förstår och som han inte har sett ursprunget till... Därför är relationssystemet en självständig konstruktion som inte har någon rapport med andra upplevelser av barnet. Det betyder att eleven bara vet vad som har lärts honom och vad som har härletts av det. Han har inte lärt sig att upprätta kopplingar mellan systemet och sinnesvärlden. Han kommer inte att veta hur han ska tillämpa det han har lärt sig i en ny situation. - Pierre van Hiele, 1959

Den mest kända delen av van Hiele-modellen är de fem nivåer som van Hieles postulerade för att beskriva hur barn lär sig att resonera i geometri. Studenter kan inte förväntas bevisa geometriska satser förrän de har byggt upp en omfattande förståelse för systemen för samband mellan geometriska idéer. Dessa system kan inte läras utan vidare, utan måste utvecklas genom förtrogenhet genom att uppleva många exempel och motexempel, de olika egenskaperna hos geometriska figurer, sambanden mellan egenskaperna och hur dessa egenskaper är ordnade. De fem nivåerna som postuleras av van Hieles beskriver hur eleverna går vidare genom denna förståelse.

De fem van Hiele-nivåerna missförstås ibland som beskrivningar av hur elever förstår formklassificering, men nivåerna beskriver faktiskt hur eleverna resonerar kring former och andra geometriska idéer. Pierre van Hiele märkte att hans elever tenderade att "platå" vid vissa punkter i deras förståelse av geometri och han identifierade dessa platåpunkter som nivåer . I allmänhet är dessa nivåer en produkt av erfarenhet och instruktion snarare än ålder. Detta står i motsats till Piagets teori om kognitiv utveckling, som är åldersberoende. Ett barn måste ha tillräckligt med erfarenheter (klassrum eller annat) med dessa geometriska idéer för att gå till en högre nivå av sofistikering. Genom rika erfarenheter kan barn nå nivå 2 i grundskolan. Utan sådana erfarenheter är många vuxna (inklusive lärare) kvar på nivå 1 hela livet, även om de går en formell geometrikurs i gymnasiet. Nivåerna är som följer:

Barn på nivå 0 säger ofta att alla dessa former är trianglar, förutom E, som är för "mager". De kan säga att F är "upp och ner". Elever på nivå 1 kommer att inse att endast E och F är giltiga trianglar.

Nivå 0. Visualisering : På denna nivå ligger fokus för ett barns tänkande på individuella former, som barnet lär sig att klassificera genom att bedöma deras holistiska utseende. Barn säger helt enkelt "Det är en cirkel", vanligtvis utan ytterligare beskrivning. Barn identifierar prototyper av grundläggande geometriska figurer ( triangel , cirkel , kvadrat ). Dessa visuella prototyper används sedan för att identifiera andra former. En form är en cirkel eftersom den ser ut som en sol; en form är en rektangel eftersom den ser ut som en dörr eller en låda; och så vidare. En kvadrat verkar vara en annan sorts form än en rektangel, och en romb ser inte ut som andra parallellogram, så dessa former klassificeras helt separat i barnets sinne. Barn ser på figurer holistiskt utan att analysera deras egenskaper. Om en form inte tillräckligt liknar sin prototyp, kan barnet avvisa klassificeringen. Sålunda kan barn i detta skede undvika att kalla en tunn, kilformad triangel (med sidorna 1, 20, 20 eller sidorna 20, 20, 39) för en "triangel", eftersom den är så annorlunda i form från en liksidig triangel , vilket är den vanliga prototypen för "triangel". Om den horisontella basen av triangeln är på toppen och den motsatta vertexen nedanför, kan barnet känna igen den som en triangel, men hävdar att den är "upp och ner". Former med rundade eller ofullständiga sidor kan accepteras som "trianglar" om de har en holistisk likhet med en liksidig triangel. Kvadrater kallas "diamanter" och känns inte igen som rutor om deras sidor är orienterade i 45° mot horisontalplanet. Barn på denna nivå tror ofta att något är sant baserat på ett enda exempel.

Nivå 1. Analys : På denna nivå blir formerna bärare av sina egenskaper. Tankens föremål är klasser av former, som barnet har lärt sig att analysera som har egenskaper. En person på denna nivå kan säga: "En kvadrat har 4 lika sidor och 4 lika vinklar. Dess diagonaler är kongruenta och vinkelräta, och de delar varandra." Egenskaperna är viktigare än formens utseende. Om en figur är skissad på svarta tavlan och läraren hävdar att den är avsedd att ha kongruenta sidor och vinklar, accepterar eleverna att det är en kvadrat, även om den är dåligt ritad. Fastigheter är ännu inte beställda på denna nivå. Barn kan diskutera egenskaperna hos de grundläggande figurerna och känna igen dem på dessa egenskaper, men i allmänhet tillåter inte kategorier att överlappa varandra eftersom de förstår varje egenskap isolerat från de andra. Till exempel kommer de fortfarande att insistera på att "en kvadrat inte är en rektangel ." (De kan introducera främmande egenskaper för att stödja sådana föreställningar, som att definiera en rektangel som en form med ett par sidor längre än det andra paret av sidor.) Barn börjar märka många egenskaper hos former, men ser inte sambanden mellan egenskaper; därför kan de inte reducera listan över fastigheter till en kortfattad definition med nödvändiga och tillräckliga villkor. De resonerar vanligtvis induktivt utifrån flera exempel, men kan ännu inte resonera deduktivt eftersom de inte förstår hur egenskaperna hos former hänger ihop.

Nivå 2. Abstraktion : På denna nivå är egenskaperna ordnade. Tankens föremål är geometriska egenskaper, som eleven har lärt sig att koppla ihop deduktivt. Studenten förstår att egenskaper är relaterade och en uppsättning egenskaper kan innebära en annan egenskap. Eleverna kan resonera med enkla argument om geometriska figurer. En elev på den här nivån kan säga: " Änbenta trianglar är symmetriska, så deras basvinklar måste vara lika." Eleverna känner igen sambanden mellan typer av former. De inser att alla kvadrater är rektanglar, men inte alla rektanglar är kvadrater, och de förstår varför kvadrater är en typ av rektangel baserat på en förståelse av egenskaperna hos var och en. De kan säga om det är möjligt eller inte att ha en rektangel som till exempel också är en romb. De förstår nödvändiga och tillräckliga förutsättningar och kan skriva kortfattade definitioner. Men de förstår ännu inte den inneboende innebörden av deduktion. De kan inte följa ett komplext argument, förstå platsen för definitioner eller förstå behovet av axiom, så de kan ännu inte förstå rollen av formella geometriska bevis.

Nivå 3. Avdrag : Elever på denna nivå förstår innebörden av avdrag. Tankens föremål är deduktiva resonemang (enkla bevis), som eleven lär sig att kombinera för att bilda ett system av formella bevis ( Euklidisk geometri) . Elever kan konstruera geometriska bevis på gymnasienivå och förstå deras innebörd. De förstår vilken roll odefinierade termer, definitioner, axiom och satser spelar i euklidisk geometri. Elever på denna nivå tror dock att axiom och definitioner är fasta, snarare än godtyckliga, så de kan ännu inte föreställa sig icke-euklidisk geometri . Geometriska idéer förstås fortfarande som objekt i det euklidiska planet.

Nivå 4. Rigor : På denna nivå förstås geometri på matematikernivå. Eleverna förstår att definitioner är godtyckliga och egentligen inte behöver hänvisa till någon konkret insikt. Tankeobjektet är deduktiva geometriska system, för vilka eleven jämför axiomatiska system . Elever kan studera icke-euklidiska geometrier med förståelse. Människor kan förstå disciplinen geometri och hur den skiljer sig filosofiskt från icke-matematiska studier.

Amerikanska forskare numrerade om nivåerna till 1 till 5 så att de kunde lägga till en "Level 0" som beskrev små barn som inte kunde identifiera former alls. Båda nummersystemen är fortfarande i bruk. Vissa forskare ger också olika namn åt nivåerna.

Nivåernas egenskaper

Van Hiele-nivåerna har fem egenskaper:

1. Fast sekvens : nivåerna är hierarkiska. Elever kan inte "hoppa över" en nivå. Van Hieles hävdar att mycket av de svårigheter som geometristudenter upplever beror på att de undervisas på deduktionsnivån när de ännu inte har uppnått abstraktionsnivån.

2. Adjacency : egenskaper som är inneboende på en nivå blir yttre på nästa. (Egenskaperna finns där på visualiseringsnivån, men eleven är ännu inte medveten medveten om dem förrän på analysnivån. Egenskaper är faktiskt relaterade på analysnivån, men eleverna är ännu inte explicit medvetna om sambanden.)

3. Distinktion : varje nivå har sina egna språkliga symboler och nätverk av relationer. Innebörden av en språklig symbol är mer än dess explicita definition; det inkluderar de upplevelser som talaren associerar med den givna symbolen. Det som kan vara "rätt" på en nivå är inte nödvändigtvis korrekt på en annan nivå. På nivå 0 är en ruta något som ser ut som en låda. På nivå 2 är en kvadrat en speciell typ av rektangel. Ingen av dessa är en korrekt beskrivning av innebörden av "kvadrat" för någon som resonerar på nivå 1. Om eleven helt enkelt får definitionen och dess tillhörande egenskaper, utan att tillåtas utveckla meningsfulla erfarenheter av begreppet, kommer eleven inte att vara kunna tillämpa denna kunskap utanför de situationer som används i lektionen.

4. Separation : en lärare som resonerar på en nivå talar ett annat "språk" än en elev på en lägre nivå, vilket förhindrar förståelse. När en lärare talar om en "fyrkant" menar hon eller han en speciell typ av rektangel. En elev på nivå 0 eller 1 kommer inte att ha samma förståelse för denna term. Eleven förstår inte läraren, och läraren förstår inte hur eleven resonerar och drar ofta slutsatsen att elevens svar helt enkelt är "fel". Van Hieles trodde att denna egenskap var en av huvudorsakerna till misslyckande i geometri. Lärare tror att de uttrycker sig tydligt och logiskt, men deras resonemang på nivå 3 eller 4 är inte förståeliga för elever på lägre nivåer, inte heller förstår lärarna sina elevers tankeprocesser. Helst behöver läraren och eleverna delade erfarenheter bakom sitt språk.

5. Prestation : Van Hieles rekommenderade fem faser för att vägleda elever från en nivå till en annan i ett givet ämne:

  • Information eller förfrågan : eleverna bekantar sig med materialet och börjar upptäcka dess struktur. Lärare presenterar en ny idé och låter eleverna arbeta med det nya konceptet. Genom att låta eleverna uppleva strukturen i det nya konceptet på ett liknande sätt kan de föra meningsfulla samtal om det. (En lärare kan säga, "Detta är en romb. Konstruera några fler rombi på ditt papper.")
  • Guidad eller riktad orientering : eleverna gör uppgifter som gör det möjligt för dem att utforska implicita relationer. Lärare föreslår aktiviteter av ganska guidad karaktär som gör att eleverna kan bekanta sig med egenskaperna hos det nya konceptet som läraren vill att de ska lära sig. (En lärare kanske frågar: "Vad händer när du skär ut och viker romben längs en diagonal? den andra diagonalen?" och så vidare, följt av diskussion.)
  • Explicitation : elever uttrycker vad de har upptäckt och ordförråd introduceras. Elevernas upplevelser är kopplade till gemensamma språkliga symboler. Van Hieles tror att det är mer lönsamt att lära sig ordförråd efter att eleverna har haft en möjlighet att bli bekanta med konceptet. Upptäcktena görs så tydliga som möjligt. (En lärare kan säga: "Här är egenskaperna vi har lagt märke till och några tillhörande ordförråd för de saker du upptäckt. Låt oss diskutera vad dessa betyder.")
  • Fri orientering : eleverna gör mer komplexa uppgifter som gör det möjligt för dem att bemästra nätverket av relationer i materialet. De känner till egenskaperna som studeras, men behöver utveckla flytande förmåga att navigera i nätverket av relationer i olika situationer. Denna typ av aktivitet är mycket mer öppen än den guidade orienteringen. Dessa uppgifter kommer inte att ha fastställda rutiner för att lösa dem. Problem kan vara mer komplexa och kräver mer fri utforskning för att hitta lösningar. (En lärare kan säga, "Hur kunde du konstruera en romb med bara två av dess sidor?" och andra problem som eleverna inte har lärt sig en fast procedur för.)
  • Integration : eleverna sammanfattar vad de har lärt sig och förbinder det till minnet. Läraren får ge eleverna en överblick över allt de har lärt sig. Det är viktigt att läraren inte presenterar något nytt material under denna fas, utan endast en sammanfattning av det som redan har lärts. Läraren kan också ge en uppgift att komma ihåg de principer och ordförråd som lärts för framtida arbete, eventuellt genom ytterligare övningar. (En lärare kan säga: "Här är en sammanfattning av vad vi har lärt oss. Skriv detta i din anteckningsbok och gör de här övningarna för läxor.") Anhängare av van Hiele-modellen påpekar att traditionell undervisning ofta bara innefattar denna sista fas, som förklarar varför eleverna inte behärskar materialet.

Till Dina van Hiele-Geldofs doktorsavhandling genomförde hon ett undervisningsexperiment med 12-åringar i en Montessori-gymnasium i Nederländerna. Hon rapporterade att hon genom att använda denna metod kunde höja elevernas nivåer från nivå 0 till 1 på 20 lektioner och från nivå 1 till 2 på 50 lektioner.

Forskning

Med van Hiele-nivåer som kriterium placeras nästan hälften av geometristudenterna i en kurs där deras chanser att lyckas bara är 50-50. — Zalman Usiskin, 1982

Forskare fann att van Hiele-nivåerna hos amerikanska studenter är låga. Europeiska forskare har hittat liknande resultat för europeiska studenter. Många, kanske de flesta, amerikanska studenter uppnår inte deduktionsnivån ens efter att de framgångsrikt slutfört en kurs i geometri i gymnasieskolan, förmodligen för att materialet lärs ut utan att ha gjorts, som van Hieles hävdade. Detta verkar bero på att geometrikurser i amerikansk high school antar att eleverna redan är åtminstone på nivå 2, redo att flytta till nivå 3, medan många gymnasieelever fortfarande är på nivå 1, eller till och med nivå 0. Se egenskapen Fixed Sequence ovan.

Kritik och modifikationer av teorin

Nivåerna är diskontinuerliga, enligt definitionen i egenskaperna ovan, men forskare har diskuterat hur diskreta nivåerna faktiskt är. Studier har funnit att många barn resonerar på flera nivåer, eller mellannivåer, vilket tycks strida mot teorin. Barn avancerar också genom nivåerna i olika takt för olika koncept, beroende på deras exponering för ämnet. De kan därför resonera på en nivå för vissa former, men på en annan nivå för andra former.

Vissa forskare har funnit att många barn på visualiseringsnivån inte resonerar på ett helt holistiskt sätt, utan kan fokusera på en enskild egenskap, såsom de lika sidorna av en kvadrat eller rundheten i en cirkel. De har föreslagit att döpa om denna nivå till den synkretiska nivån. Andra modifieringar har också föreslagits, som att definiera undernivåer mellan huvudnivåerna, även om ingen av dessa modifieringar ännu har vunnit popularitet.

Vidare läsning

  • Van Hiele nivåer av geometrisk förståelse av Marguerite Mason
  • Små barns utvecklande förståelse för geometriska former av Mary Anne Hannibal

externa länkar

Hämtad från " https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Van_Hiele_model&oldid=1094664180 "