Våg-partikeldualitetsrelation

Våg -partikeldualitetsrelationen , ofta löst kallad Englert-Greenberger-Yasin-dualitetsrelationen , eller Englert-Greenberger-relationen , relaterar synligheten, $V$ , av interferenskanter med definititeten eller särskiljbarheten, $D$ , av fotonernas vägar i kvantoptik . Som en ojämlikhet:

D^{2}+V^{2}\leq 1\,

Även om det behandlas som en enda relation, involverar det faktiskt två separata relationer, som matematiskt ser väldigt lika ut. Den första relationen, härledd av Greenberger och Yasin 1988, uttrycks som $P^{2}+V^{2}\leq 1\,$ . Den utökades senare till att ge en jämlikhet för fallet med rena kvanttillstånd av Jaeger, Shimony och Vaidman 1995. Denna relation innebär att man korrekt gissar vilken av de två vägarna partikeln skulle ha tagit, baserat på den första förberedelsen. Här $P$ kallas för förutsägbarhet. Ett år senare Englert , 1996, en relaterad relation som handlar om att experimentellt förvärva kunskap om de två vägarna med hjälp av en apparat, i motsats till att förutsäga vägen baserat på första förberedelser. Denna relation är $D^{2}+V^{2}\leq 1\,$ . Här $D$ särskiljbarheten.

Betydelsen av relationerna är att de kvantitativt uttrycker komplementariteten mellan våg- och partikelsynpunkter i dubbelslitsexperiment . Komplementaritetsprincipen inom kvantmekaniken , formulerad av Niels Bohr , säger att våg- och partikelaspekterna hos kvantobjekt inte kan observeras samtidigt. Våg-partikeldualitetsrelationerna gör Bohrs uttalande mer kvantitativt – ett experiment kan ge partiell information om våg- och partikelaspekterna av en foton samtidigt, men ju mer information ett visst experiment ger om den ena, desto mindre kommer det att ge om den andra. Förutsägbarheten $P$ som uttrycker graden av sannolikhet med vilken väg för partikeln som kan gissas korrekt, och särskiljbarheten $D$ som är den grad i vilken man experimentellt kan få information om banans väg partikel, är mått på partikelinformationen, medan synligheten för fransarna $V$ är ett mått på våginformationen. Relationerna visar att de är omvänt relaterade, när den ena går upp går den andra ner.

Matematiken för tvåslitsdiffraktion

Det här avsnittet granskar den matematiska formuleringen av experimentet med dubbelslits . Formuleringen är i termer av diffraktion och interferens av vågor. Kulmen på utvecklingen är en presentation av två siffror som kännetecknar synligheten av interferenskanterna i experimentet, sammanlänkade som Englert- Greenberger-dualitetsrelationen . Nästa avsnitt kommer att diskutera den ortodoxa kvantmekaniska tolkningen av dualitetsrelationen i termer av våg-partikeldualitet. Om detta experiment Richard Feynman en gång att det "har hjärtat av kvantmekaniken i sig. I verkligheten innehåller det det enda mysteriet."

Vågfunktionen i Young double - aperture experiment kan skrivas som

\Psi _{\text{Totalt}}(x)=\Psi _{A}(x)+\Psi _{B}(x).

Funktionen

\Psi _{A}(x)=C_{A}\Psi _{0}(x-x_{A})

är vågfunktionen associerad med nålhålet vid A centrerat på $x_{A}$ ; ett liknande förhållande gäller för pinhole B . Variabeln $x$ är en position i rymden nedströms slitsarna. Konstanterna $C_{A}$ och $C_{B}$ är proportionalitetsfaktorer för motsvarande vågamplituder, och $\Psi _{0}(x)$ är vågfunktionen för ett hål för en bländare centrerad på origo. Enkelhålsvågfunktionen anses vara den för Fraunhofer-diffraktion ; hålformen är irrelevant, och hålen anses vara idealiserade. Vågen anses ha ett fast infallande momentum $p_{0}=h/\lambda$ :

\Psi _{0}(x)\propto {\frac {e^{ip_{0}\cdot |x|/\hbar }}{|x|}}

där $|x|$ är det radiella avståndet från nålhålet.

För att särskilja vilket pinhole en foton passerade genom, behöver man ett visst mått på särskiljbarheten mellan pinholes. En sådan åtgärd ges av

P=|P_{A}-P_{B}|,\,

där $P_{A}$ och $P_{B}$ är sannolikheterna för att hitta att partikeln passerade genom apertur A respektive apertur B.

Eftersom Born-sannolikhetsmåttet ges av

P_{A}={\frac {|C_{A}|^{2}}{|C_{A}|^{2}+|C_{B}|^{2}}}

och

P_{B}={\frac {|C_{B}|^{2}}{|C_{A}|^{2}+|C_{B}|^{2}}}

då får vi:

P=\left|\;{\frac {|C_{A}|^{2}-|C_{B}|^{2}}{|C_{A}|^{2}+|C_ {B}|^{2}}}\,\right|

Vi har särskilt $P=0$ för två symmetriska hål och $P=1$ för en enda bländare (perfekt särskiljbarhet). I det bortre fältet av de två nålhålen stör de två vågorna och producerar fransar. Intensiteten hos interferensmönstret vid en punkt y i fokalplanet ges av

I(y)\propto 1+V\cos \left({\frac {p_{y}d}{\hbar }} +\varphi \right)

där $p_{y}=h/\lambda \cdot \sin(\alpha )$ är partikelns rörelsemängd längs y- riktningen, ${\displaystyle \varphi =\operatörsnamn {Arg} (C_{A})-\operatörsnamn {Arg} (C_{B})} är en fast$ fasförskjutning, och ${\ displaystyle d}$ är avståndet mellan de två pinholes. Vinkeln α från horisontalplanet ges av $\sin(\alpha )\simeq \tan(\alpha )=y/L$ där ${\ displaystyle L}$ är avståndet mellan bländarskärmen och fjärrfältsanalysplanet. Om en lins används för att observera fransarna i det bakre fokalplanet, ges vinkeln av $\sin(\alpha )\simeq \tan(\ alpha )=y/f$ där $f$ är objektivets brännvidd .

Fransarnas synlighet definieras av

V={\frac {I_{\max }-I_{\min }}{I_{\max }+I_{\min }}}

där $I_{\max }$ och $I_{\min }$ anger max- och lägsta intensiteten för fransarna. Enligt reglerna för konstruktiv och destruktiv störning vi har

I_{\max }\propto ||C_{A}|+|C_{B}||^{2}

I_{\min }\propto ||C_{A}|-|C_{B}||^{2}

På motsvarande sätt kan detta skrivas som

V=2{\frac {|C_{A}\cdot C_{B}^{*}|}{|C_{A}|^{2}+|C_{B}|^{2}} }.

Och därför får vi, för en enda foton i ett rent kvanttillstånd, dualitetsrelationen

V^{2}+P^{2}=1\,

Det finns två extrema fall med en enkel intuitiv tolkning: I ett experiment med enstaka hål är franssikten noll (eftersom det inte finns några fransar). Det vill säga $V=0$ men $P=1$ eftersom vi vet (per definition) vilket hål fotonen passerade genom. Å andra sidan, för en konfiguration med två slitsar, där de två slitsarna inte går att särskilja med ${\displaystyle P=0} ,$ har man perfekt synlighet med $I_{\min }=0$ och därmed $V=1$ . Därför har vi i båda dessa extrema fall också $V^{2}+P^{2}=1$ .

Ovanstående presentation var begränsad till ett rent kvanttillstånd. Mer generellt, för en blandning av kvanttillstånd, kommer man att ha

V^{2}+P^{2}\leq 1.\,

För resten av utvecklingen antar vi att ljuskällan är en laser , så att vi kan anta att $V^{2}+P^{2}=1$ gäller, efter koherensegenskaper hos laserljus.

Komplementaritet

Den matematiska diskussionen som presenteras ovan kräver inte kvantmekanik i sitt hjärta. I synnerhet är härledningen i huvudsak giltig för vågor av vilket slag som helst. Med små modifieringar för att ta hänsyn till kvadreringen av amplituder, skulle härledningen kunna tillämpas på till exempel ljudvågor eller vattenvågor i en krusningstank .

För att relationen ska vara en exakt formulering av Bohr-komplementaritet måste man introducera våg-partikeldualitet i diskussionen. Detta innebär att man måste beakta både våg- och partikelbeteende hos ljus på lika villkor. Våg-partikeldualitet innebär att man måste A) använda den enhetliga utvecklingen av vågen före observationen och B) överväga partikelaspekten efter detektionen (detta kallas Heisenberg-von Neumanns kollapspostulat). Faktum är att eftersom man bara kunde observera fotonen i en punkt i rymden (en foton kan inte absorberas två gånger) innebär detta att betydelsen av vågfunktionen är väsentligen statistisk och inte kan förväxlas med en klassisk våg (som de som förekommer i luft eller vatten).

I detta sammanhang utesluter den direkta observationen av en foton i aperturplanet följande inspelning av samma foton i fokalplanet (F). Ömsesidigt betyder observationen i (F) att vi inte absorberade fotonen tidigare. Om båda hålen är öppna innebär detta att vi inte vet var vi skulle ha upptäckt fotonen i aperturplanet. $P$ definierar således förutsägbarheten för de två hålen A och B .

Ett maximalt värde på förutsägbarhet $P=1$ betyder att endast ett hål (säg A ) är öppet. Om vi nu detekterar fotonen vid (F), vet vi att den fotonen nödvändigtvis skulle ha detekterats i A. Omvänt betyder ${\displaystyle P=0} att båda hålen är öppna och spelar en symmetrisk roll.$ Om vi detekterar fotonen vid (F) vet vi inte var fotonen skulle ha detekterats i bländarplanet och $P=0$ kännetecknar vår okunnighet.

På liknande sätt, om $P=0$ så är $V=1$ och detta betyder att en statistisk ackumulering av fotoner vid (F) bygger upp ett interferensmönster med maximal synlighet. Omvänt innebär $P=1$ $V=0$ och således uppträder inga fransar efter en statistisk registrering av flera fotoner.

Ovanstående behandling formaliserar vågpartikeldualitet för dubbelslitsexperimentet.

Se även

Referenser och anteckningar

Vidare läsning

Englert, Berthold-Georg; Scully, Marlan O.; Walther, Herbert (1991). "Quantum Optical Tests of Complementarity". Naturen . 351 (6322): 111–116. Bibcode : 1991Natur.351..111S . doi : 10.1038/351111a0 . S2CID 4311842 . Demonstrerar att kvantinterferenseffekter förstörs av irreversibla objekt-apparat-korrelationer ("mätning"), inte av Heisenbergs osäkerhetsprincip i sig. Se även "Dualiteten i materia och ljus". Scientific American . december 1994.
Drezet, Aurelien (2005). "Komplementaritet och Afshars experiment". arXiv : quant-ph/0508091 .

externa länkar

Karmela Padavic-Callaghan (2021-09-01). "Våg-partikeldualitet kvantifierad för första gången" . Fysik värld .