Utrymme av riktningar

I metrisk geometri beskriver utrymmet för riktningar vid en punkt riktningarna för kurvor som börjar vid punkten. Det generaliserar tangentutrymmet i ett differentierbart grenrör .

Definitioner

Låt ( M , d ) vara ett metriskt mellanrum . Först definierar vi den övre vinkeln för två kurvor som börjar vid samma punkt i M . Så låt $\alpha ,\beta :[0,\varepsilon )\to M$ vara två kurvor med $\alpha ( 0)=\beta (0)=p$ . Den övre vinkeln mellan dem vid p är

$\angle _{U}(\alpha ,\beta ):=\varlimsup _{s,t\to 0}\arccos {\frac {d(\alpha (s),p)^{2}+ d(\beta (t),p)^{2}-d(\alpha (s),\beta (t))^{2}}{2d(\alpha (s),p)d(\beta ( t),p)}}.$

Den övre vinkeln uppfyller triangelolikheten : För tre kurvor $\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}$ som börjar på p ,

$\angle _{U}(\alpha _{1},\alpha _{3})\leq \angle _{U}(\alpha _{1},\alpha _{2})+\angle _{U}(\alpha _{2},\alpha _{3}).$

En kurva sägs ha en riktning om den övre vinkeln på två kopior av sig själv vid startpunkten är noll. För kurvor som har riktningar i en punkt, definierar vi en ekvivalensrelation på dem genom att säga att två kurvor är ekvivalenta om den övre vinkeln mellan dem vid punkten är noll. Två ekvivalenta kurvor sägs ha samma riktning vid punkten.

Uppsättningen av ekvivalensklasser av kurvor med riktningar i punkten p utrustad med den övre vinkeln är ett metriskt utrymme, kallat riktningsutrymmet vid punkten, betecknat som $\Omega _{p}(M )$ . Den metriska kompletteringen av riktningsutrymmet kallas det fullbordade riktningsutrymmet , betecknat som ${\overline {\Omega _{p}(M)}}$ .

För ett Alexandrov-utrymme med krökning avgränsad antingen ovanför eller under, finns det också en liknande definition där kortaste vägar, som alltid har riktningar, används. Riktningsutrymmet vid en punkt definieras sedan som den metriska kompletteringen av uppsättningen ekvivalensklasser av kortaste vägar som börjar vid punkten.

• Igor Nikolaev (1995). "Tangenskonen för ett Aleksandrov-rum med krökning ≤ K". manuscripta mathematica (86): 137–147.
•   Dmitri Burago; Yuri Burago ; Sergei Ivanov (2001). En kurs i metrisk geometri . American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2129-6 .
• V. Berestovskii; I. Nikolaev (1993). "Multidimensionella generaliserade Riemannska utrymmen". Geometri IV. Icke-regelbunden Riemannsk geometri . Encyclopaedia of Mathematical Sciences. Berlin: Springer-Verlag. s. 165–244.