Unum (sifferformat)

Unums ( universella tal ) är en familj av format och aritmetik, som liknar flyttal , föreslog av John L. Gustafson 2015. De är designade som ett alternativ till den allestädes närvarande flyttalsstandarden IEEE 754 . Den senaste versionen (känd som posits) kan användas som en drop-in-ersättning för program som inte är beroende av specifika funktioner i IEEE 754.

Typ I Unum

Den första versionen av unums, formellt känd som Type I unum, introducerades i Gustafsons bok The End of Error som en superset av flyttalsformatet IEEE-754. De definierande egenskaperna hos Typ I unum-formatet är:

ett lagringsformat med variabel bredd för både signifikanden och exponenten och
en u-bit , som avgör om unum motsvarar ett exakt tal ( u = 0), eller ett intervall mellan på varandra följande exakta unum ( u = 1). På så sätt täcker unum hela den förlängda reella tallinjen [−∞,+∞].

För beräkning med formatet föreslog Gustafson att använda intervallaritmetik med ett par unum, vad han kallade en ubound , vilket gav garantin att det resulterande intervallet innehåller den exakta lösningen.

William M. Kahan och Gustafson debatterade unums på Arith23 -konferensen.

Typ II Unum

Typ II Unums introducerades 2016 som en omdesign av Unums som bröt IEEE-754-kompatibiliteten.

Position (Typ III Unum)

I februari 2017 introducerade Gustafson officiellt Typ III unums, posits för fasta flyttalsliknande värden och giltiga för intervallaritmetik . I mars 2021 ratificerades och publicerades en standard av Posit Working Group.

Positioner är en hårdvaruvänlig version av unum där svårigheter i den ursprungliga typ I unum på grund av dess varierande storlek är lösta. Jämfört med IEEE 754-floats av liknande storlek erbjuder posits ett större dynamiskt omfång och fler bråkbitar för värden med magnitud nära 1 (men färre bråkbitar för mycket stora eller mycket små värden), och Gustafson hävdar att de erbjuder bättre noggrannhet. I en oberoende studie bekräftade Lindstrom, Lloyd och Hittinger från Lawrence Livermore National Laboratory att antaganden överträffar flytningar i noggrannhet. ^{[ tveksamt – diskutera ]} Positioner har överlägsen noggrannhet i området nära ett, där de flesta beräkningar sker. Detta gör det mycket attraktivt för den nuvarande trenden inom djupinlärning att minimera antalet bitar som används. Det hjälper potentiellt alla applikationer att accelerera genom att möjliggöra användningen av färre bitar (eftersom den har fler bråkdelar för noggrannhet) vilket minskar nätverks- och minnesbandbredd och effektkrav.

Formatet för en n -bitars posit får etiketten "posit" följt av decimalsiffrorna i n (t.ex. 16-bitars positformatet är "posit16") och består av fyra sekventiella fält:

tecken : 1 bit, representerar ett heltal utan tecken s
regim: minst 2 bitar och upp till ( n − 1), som representerar ett heltal utan tecken r enligt beskrivningen nedan
exponent : upp till 2 bitar som tillgängliga efter regim, representerande ett heltal utan tecken e
bråk : alla återstående bitar tillgängliga efter exponent, representerar en icke-negativ reell dyadisk rationell f mindre än 1

Regimfältet använder unär kodning av k identiska bitar, följt av en bit av motsatt värde om några kvarvarande bitar är tillgängliga, för att representera ett heltal utan tecken r som är − k om den första biten är 0 eller k − 1 om den första biten är 1. Tecken-, exponent- och bråkfälten är analoga med IEEE 754 tecken-, exponent- och signifikansfält (respektive), förutom att positexponent- och bråkfälten kan saknas eller trunkeras och implicit utökas med nollor – en frånvarande exponent behandlas som 00 _{2 (representerar 0),} behandlas en enbitsexponent E _{1 som} E ₁0₂ (representerar heltal 0 om E ₁ är 0 eller 2 om E ₁ är 1), och en frånvarande fraktion behandlas som 0.

De två kodningarna där alla icke-teckenbitar är 0 har speciella tolkningar:

Om teckenbiten är 1 är positvärdet NaR ("inte en reell")
Om teckenbiten är 0 är positvärdet 0 (vilket är utan tecken och det enda värdet för vilket teckenfunktionen returnerar 0)

Annars är positvärdet lika med ${\textstyle ((1-3s)+f)\ gånger 2 ^{(1-2s)\ gånger (4r+e+s)}}$ , där r skalar med potenser av 16, e skalar med potenser av 2, f fördelar värden enhetligt mellan intilliggande kombinationer av ( r , e ), och s justerar tecknet symmetriskt omkring 0.

Exempel


typ (posit n )	Binär	Värde	Anteckningar
några	`1 0…`	`NaR`	allt som inte matematiskt kan definieras som ett unikt reellt tal
några	`0 0…`	${\textstyle 0}$
några	`0 10…`	${\textstyle 1}$
några	`1 10…`	${\textstyle -1}$
några	`0 0 1 11 0…`	${\textstyle 0.5}$
några	`0 0… 1`	${\textstyle 2^{-4n+8}}$	minsta positiva värde
några	`0 1...`	${\textstyle 2^{4n-8}}$	största positiva värdet
posit8	`0 000000 1`	${\textstyle 2^{-24}\approx 6.0\times 10^{-8}}$	minsta positiva värde
posit8	`0 1111111`	${\textstil 2^{24}\ca 1,7\gånger 10^{7}}$	största positiva värdet
posit16	`0 0000000000000 1`	${\textstyle 2^{-56}\approx 1,4\times 10^{-17}}$	minsta positiva värde
posit16	`0 111111111111111`	${\textstyle 2^{56}\approx 7,2\times 10^{16}}$	största positiva värdet
posit32	`0 00000000000000000000000000000000 1`	${\textstyle 2^{-120}\approx 7,5\times 10^{-37}}$	minsta positiva värde
posit32	`0 11111111111111111111111111111111`	${\textstyle 2^{120}\approx 1,3\times 10^{36}}$	största positiva värdet

Notera : 32-bitars posit förväntas vara tillräckligt för att lösa nästan alla klasser av applikationer [ ^{citat behövs ]} .

Quire

För varje posit n typ av precision ${\textstyle n}$ definierar standarden en motsvarande "quire" typ quire n med precision ${\textstyle 16\times n} ,$ som används för att ackumulera exakta summor av produkter av dessa positer utan avrundning eller översvämning i punktprodukter för vektorer på upp till 2 ³¹ eller fler element (den exakta gränsen är ${\displaystyle 2^{23+4n}} )$ . Qureformatet är ett med två komplement för tecken, tolkat som en multipel av enheter med storleken $2^{16-8n}$ förutom specialvärdet med en inledande teckenbit på 1 och alla andra bitar lika med 0 (vilket representerar NaR ). Quires är baserade på verk av Ulrich W. Kulisch och Willard L. Miranker .

Giltig

Giltigheter beskrivs som ett typ III Unum-läge som gränsar resulterar i ett givet intervall.

Genomföranden

Flera mjukvaru- och hårdvarulösningar implementerar positurer. Den första kompletta parametriserade positaritmetiska hårdvarugeneratorn föreslogs 2018.

Unum implementeringar har utforskats i Julia och MATLAB . En C++- version med stöd för alla positstorlekar kombinerat med valfritt antal exponentbitar är tillgänglig. En snabb implementering i C, SoftPosit, tillhandahållen av NGA-forskningsteamet baserat på Berkeley SoftFloat kompletterar de tillgängliga programvaruimplementeringarna.

Projekt författare	Typ	Precisioner	Quire Stöd?	Fart	Testning	Anteckningar
GP-GPU VividSparks	Världens första FPGA GP-GPU	32	Ja	~3,2 Tpops	Uttömmande. Inga kända buggar.	Racer GP-GPU har 512 kärnor
SoftPosit EN STJÄRNA	C-bibliotek baserat på Berkeley SoftFloat C++-omslag för att åsidosätta operatörernas Python-omslag med SWIG från SoftPosit	8, 16, 32 publicerade och kompletta;	Ja	~60 till 110 Mpops/s på x86-kärna (Broadwell)	8: Uttömmande; 16: Uttömmande utom FMA, frågestund 32: Uttömmande test pågår fortfarande. Inga kända buggar.	Licens för öppen källkod. Det snabbaste och mest omfattande C-biblioteket för inlägg för närvarande. Designad för plugin-jämförelse av IEEE-floats och posits.
posit4.nb EN STJÄRNA	Mathematica anteckningsbok	Allt	Ja	< 80 kpops/s	Uttömmande för låg precision. Inga kända buggar.	Öppen källkod (MIT-licens). Originaldefinition och prototyp. Mest komplett miljö för att jämföra IEEE-floats och posits. Många exempel på användning, inklusive linjära lösare
posit-javascript EN STJÄRNA	JavaScript-widget	Konvertera decimal till posit 6, 8, 16, 32; generera tabellerna 2–17 med es 1–4.	—	—; interaktiv widget	Fullständigt testad	Tabellgenerator och konvertering
Universell Stillwater Supercomputing, Inc	C++ mallbibliotek C-bibliotek Python-omslag Golang-bibliotek	Godtycklig precision posit float giltig (p) Unum typ 1 (p) Unum typ 2 (p)	Godtyckliga behovskonfigurationer med programmerbar kapacitet	posit<4,0> 1 GPOPS posit<8,0> 130 MPOPS posit<16,1> 115 MPOPS posit<32,2> 105 MPOPS posit<64,3> 50 MPOPS posit<128,4> 1 MPOPS posit<256,5> 800 kPOPS	Komplett valideringssvit för godtyckliga positurer Slumpmässiga för stora posit-konfigurationer. Använder induktion för att bevisa att nbits+1 är korrekt inga kända buggar	Öppen källa. MIT-licens. Helt integrerad med C/C++-typer och automatiska konverteringar. Stöder fullständigt C++ matematikbibliotek (native och konvertering till/från IEEE). Körtidsintegrationer: MTL4/MTL5, Eigen, Trilinos, HPR-BLAS. Applikationsintegrationer: G+SMO, FDBB, FEniCS, ODEintV2, TVM.ai. Hardware Accelerator integration (Xilinx, Intel, Achronix).
Speedgo Chung Shin Yee	Python bibliotek	Allt	Nej	~20 Mpops/s	Omfattande; inga kända buggar	Öppen källkod (MIT-licens)
softposit-rkt David Thien	SoftPosit-bindningar för Racket	Allt	Ja	Okänd	Okänd
sfpy Bill Zorn	SoftPosit-bindningar för Python	Allt	Ja	~20–45 Mpops/s på 4,9 GHz Skylake-kärna	Okänd
positsoktav Diego Coelho	Octave Implementation	Allt	Nej	Okänd	Begränsad testning; inga kända buggar	GNU GPL
Sigmoidnummer Isaac Yonemoto	Julia bibliotek	Alla <32, alla ES	Ja	Okänd	Inga kända buggar (posits). Division buggar (giltiga)	Utnyttjar Julias mallade matematikstandardbibliotek, kan inbyggt göra matris- och tensoroperationer, komplexa tal, FFT, DiffEQ. Stöd för giltiga
FastSigmoid Isaac Yonemoto	Julia och C/C++ bibliotek	8, 16, 32, alla ES	Nej	Okänd	Känd bugg i 32-bitars multiplikation	Används av LLNL i chockstudier
SoftPosit.jl Milan Klöwer	Julia bibliotek	Baserat på softposit; 8-bitars (es=0..2) 16-bitars (es=0..2) 24-bitars (es=1..2) 32-bitars (es=2)	Ja	Liknande A*STAR "SoftPosit" (Cerlane Leong)	Ja: Posit (8,0), Posit (16,1), Posit (32,2) Andra format saknar full funktionalitet	Öppen källa. Problem och förslag på GitHub. Detta projekt utvecklades på grund av att SigmoidNumbers och FastSigmoid av Isaac Yonemoto inte underhålls för närvarande. Stöder grundläggande linjära algebrafunktioner i Julia (matrismultiplikation, matrislösning, Elgenupplösning, etc.)
PySigmoid Ken Mercado	Python bibliotek	Allt	Ja	< 20 Mpops/s	Okänd	Öppen källkod (MIT-licens). Lätt att använda gränssnitt. Exempel på nervnät. Stöd för omfattande funktioner.
cppPosit Emanuele Ruffaldi	C++ bibliotek	4 till 64 (valfritt es-värde); "Mallversionen är 2 till 63 bitar"	Nej	Okänd	Några grundläggande tester	4 nivåer av operationer som arbetar med posits. Speciellt stöd för NaN-typer (icke-standard)
bfp:Beyond Floating Point Clément Guérin	C++ bibliotek	Några	Nej	Okänd	Buggar hittade; status för korrigeringar okänd	Stöder + – × ÷ √ ömsesidigt, negera, jämföra
Verilog.jl Isaac Yonemoto	Julia och Verilog	8, 16, 32, ES=0	Nej	Okänd	Omfattande testad för 8-bitars, inga kända buggar	Endast avsedd för Deep Learning-applikationer Addition, Subtraktion och Multiplikation. En proof of concept-matrismultiplikator har byggts, men är off-spec i sin precision
Lombiq Aritmetik Lombiq Technologies	C# med Hastlayer för hårdvarugenerering	8, 16, 32. (64 bitar pågår)	Ja	10 Mpops/s Klicka här för mer	Partiell	Kräver Microsoft .Net API:er
Deepfloat Jeff Johnson, Facebook	SystemVerilog	Alla (parameteriserat SystemVerilog)	Ja	— (RTL för FPGA/ASIC-designer)	Begränsad	Överensstämmer inte strikt med posit spec. Stöder +,-,/,*. Implementerar både logaritmisk posit och normala, "linjära" positurer Licens: CC-BY-NC 4.0 för närvarande
Tokyo Tech	FPGA	16, 32, utdragbar	Nej	"2 GHz", inte översatt till Mpops/s	Partiell; kända avrundningsbuggar	Ännu att vara öppen källkod
PACoGen: Posit Arthmetic Core Generator Manish Kumar Jaiswal	Verilog HDL för Posit Arithmetic	Vilken precision som helst. Kan generera valfri kombination av ordstorlek (N) och exponentstorlek (ES)	Nej	Designhastigheten är baserad på den underliggande hårdvaruplattformen (ASIC/FPGA)	Uttömmande tester för 8-bitars posit. Flera miljoner slumpmässiga tester utförs för upp till 32-bitars posit med olika ES-kombinationer	Den stöder avrundningsmetoden till närmaste avrundning.
Vinay Saxena, Research and Technology Centre, Robert Bosch, Indien (RTC-IN) och Farhad Merchant, RWTH Aachen University	Verilog-generator för VLSI, FPGA	Allt	Nej	Liknar flöten av samma bitstorlek	N=8 - ES=2 \| N=7,8,9,10,11,12 Selektiva (20000*65536) kombinationer för - ES=1 \| N=16	För användning i kommersiella produkter. Som vi förstår det. *Första någonsin integrering av posits i RISC-V*
Position Enabled RISC-V Core (Sugandha Tiwari, Neel Gala, Chester Rebeiro, V.Kamakoti, IIT MADRAS)	Implementering av BSV (Bluespec System Verilog).	32-bitars posit med (es=2) och (es=3)	Nej	—	Verifierad mot SoftPosit för (es=2) och testad med flera applikationer för (es=2) och (es=3). Inga kända buggar.	Första kompletta posit-kapabla RISC-V-kärna. Stöder dynamisk växling mellan (es=2) och (es=3). Mer info här.
PERCIVAL David Mallasén	Open-Source Posit RISC-V Core med Quire-kapacitet	Position<32,2> med 512-bitars quire	Ja	Designhastigheten är baserad på den underliggande hårdvaruplattformen (ASIC/FPGA)	Funktionstestning av varje positinstruktion.	RISC-V-kärna med positiv kapacitet på applikationsnivå baserad på CVA6 som kan exekvera alla posit-instruktioner, inklusive quire-fused-operationerna. PERCIVAL är det första verket som integrerar hela posit ISA och quire i hårdvara. Det tillåter inbyggt exekvering av posit-instruktioner såväl som de vanliga flyttals-instruktionerna samtidigt.
LibPosit Chris Lomont	En fil C# MIT Licensierad	Vilken storlek som helst	Nej		Omfattande; inga kända buggar	Ops: aritmetik, jämförelser, sqrt, sin, cos, tan, acos, asin, atan, pow, exp, log
unumjl REX Computing	FPGA-version av "Neo" VLIW-processorn med posit numerisk enhet	32	Nej	~1,2 Gpop/s	Omfattande; inga kända buggar	Ingen delning eller kvadratrot. Första kompletta processordesign som ersätter flöten med posits.
PNU: Placera numerisk enhet Calligo Tech	Octacore RISC-V med Posit as PNU implementerad på FPGA, demonstrerad i HiPC 2022. ASIC-implementering av Octacore RISC-V + PNU förväntas i mitten av 2023.	<32, 2> med stöd för Quire 512 bitar. <64, 3>	Ja - Fullt stöd.	Benchmark pågår.	Uttömmande tester genomförda för 32 bitar och 64 bitar med Quire-stöd slutförda.	Helt integrerad med C/C++-typer och automatiska konverteringar. Stöder fullständigt C++ matematikbibliotek (native och konvertering till/från IEEE). Körtidsintegrationer: GNU Utils, OpenBLAS, CBLAS. Applikationsintegrationer: pågår. Kompilatorstöd utökat: C/C++, G++, GFortran & LLVM (pågår).
IBM-TACC Jianyu Chen	FPGA för särskilda ändamål	32	Ja	16–64 Gpop/s	Endast ett känt fall testades	Gör 128-av-128 matris-matris multiplikation (SGEMM) med hjälp av quire.
Deep PeNSieve Raul Murillo	Python-bibliotek (programvara)	8, 16, 32	Ja	Okänd	Okänd	Ett DNN-ramverk som använder inlägg
Gosit Jaap Aarts	Pure Go bibliotek	16/1 32/2 (ingår är en generisk 32/ES för ES<32) [ ^{förtydligande behövs ]}	Nej	80 Mopp/s för div32/2 och liknande linjära funktioner. Mycket högre för trunkerat och mycket lägre för exp.	Fuzzing mot c softposit med många iterationer för 16/1 och 32/2. Explicit testa edge-fall hittades.	(MIT-licens) Implementeringarna där ES är konstant genereras koden. Generatorn ska kunna generera för alla storlekar {8,16,32} och ES under storleken. De som inte ingår i biblioteket som standard är dock inte testade, otydliga eller stöds. Använd gärna generatorn för att generera dem åt dig, rapportera buggar, tillhandahålla patchar etc. För vissa operationer på 32/ES är det möjligt att blanda och matcha ES. Detta är dock inte testat.

SoftPosit

SoftPosit är en mjukvaruimplementering av posits baserad på Berkeley SoftFloat. Det tillåter mjukvarujämförelse mellan posits och floats. Det stöder för närvarande

Lägg till
Subtrahera
Multiplicera
Dela upp
Fuserad-multiplicera-lägg till
Fused-dot-product (med quire)
Roten ur
Konvertera posit till heltal med och utan tecken
Konvertera heltal med och utan tecken till posit
Konvertera posit till en annan positstorlek
Mindre än, lika, mindre än lika jämförelse
Avrunda till närmaste heltal

Hjälparfunktioner

konvertera dubbel till posit
konvertera posit till dubbel
cast unsigned heltal till posit

Det fungerar för 16-bitars positer med en exponentbit och 8-bitars posit med noll exponentbit. Stöd för 32-bitars positioner och flexibel typ (2-32 bitar med två exponentbitar) väntar på validering. Den stöder x86_64-system. Den har testats på GNU gcc ( SUSE Linux ) 4.8.5 Apple LLVM version 9.1.0 (clang-902.0.39.2).

Exempel

Lägg till med posit8_t

 

     

       
      
      

       

    
       
     

    
       
     

     0
 #include  "softposit.h"  int  main  (  int  argc  ,  char  *  argv  []){  posit8_t  pA  ,  pB  ,  pZ  ;  pA  =  castP8  (  0xF2  );  pB  =  castP8  (  0x23  );  pZ  =  p8_add  (  pA  ,  pB  );  //Att kontrollera svaret genom att konvertera det till dubbel  dubbel  dZ  =  convertP8ToDouble  (  pZ  );  printf  (  "dZ: %.15f  \n  "  ,  dZ  );  //För att skriva ut resultat i binär (varning: icke-bärbar kod)  uint8_t  uiZ  =  castUI8  (  pZ  );  printBinary  ((  uint64_t  *  )  &  uiZ  ,  8  );  återvända  ;  }

Fused dot-produkt med quire16_t


    
   
   
   

 


  


    
    


   


    //Konvertera dubbel till  posit16_t  pA  =  convertDoubleToP16  (  1.02783203125 )   ;  posit16_t  pB  =  convertDoubleToP16  (  0,987060546875  );  posit16_t  pC  =  convertDoubleToP16  (  0,4998779296875  );  posit16_t  pD  =  convertDoubleToP16  (  0,8797607421875  );  quire16_t  qZ  ;  //Sätt quire till 0  qZ  =  q16_clr  (  qZ  );  //ackumulera produkter utan avrundningar  qZ  =  q16_fdp_add  (  qZ  ,  pA  ,  pB  );  qZ  =  q16_fdp_add  (  qZ  ,  pC  ,  pD  );  //Konvertera tillbaka till  posit16_t  pZ  =  q16_to_p16  (  qZ  );  //För att kontrollera svara  dubbel  dZ  =  convertP16ToDouble  (  pZ  );

Kritik

William M. Kahan, huvudarkitekten för IEEE 754-1985 kritiserar typ I unums på följande grunder (vissa behandlas i typ II och typ III standarder):

Beskrivningen av unums kringgår med hjälp av kalkyl för att lösa fysikproblem.
Unums kan vara dyra i termer av tid och strömförbrukning.
Varje beräkning i unum-utrymme kommer sannolikt att ändra strukturens bitlängd. Detta kräver att de antingen packas upp i ett utrymme med fast storlek, eller dataallokering, deallokering och sophämtning under unum-operationer, liknande problem med att hantera poster med variabel längd i masslagring.
Unums ger bara två typer av numeriska undantag, tyst och signalerande NaN (Not-a-Number).
Unum-beräkning kan leverera alltför lösa gränser från valet av en algebraiskt korrekt men numeriskt instabil algoritm.
Fördelarna med unum framför kort precisionsflytpunkt för problem som kräver låg precision är inte uppenbara.
Att lösa differentialekvationer och utvärdera integraler med unum garanterar korrekta svar men är kanske inte lika snabba som metoder som vanligtvis fungerar.

Se även

Vidare läsning

Gustafson, John L. (mars 2013). "Precision med rätt storlek: Unleashed Computing: Behovet av precision i rätt storlek för att spara energi, bandbredd, lagring och elkraft" ( PDF) . Arkiverad (PDF) från originalet 2016-06-06 . Hämtad 2016-06-06 .
Brueckner, Rich (2015-03-02). "Slidecast: John Gustafson Explains Energy Efficient Unum Computing" . The Rich Report . Inuti HPC. Arkiverad från originalet 2016-07-10 . Hämtad 2016-06-10 .
Gustafson, John L. (2015). "Slutet på numeriskt fel" (PDF) . Arkiverad (PDF) från originalet 2016-06-06 . Hämtad 2016-06-06 .
Gustafson, John L. (2016-06-03) [2016-02-22]. "A Radical Approach to Computation with Real Numbers - Unums version 2.0" ( PPT). Arkiverad från originalet 2016-07-10 . Hämtad 2016-07-10 . (OBS. PDF-filer kommer utan anteckningar: [5] [6] )
Gustafson, John L. (2016-06-06). "En energieffektiv och massivt parallell strategi för giltiga siffror" ( PPT). OCRAR-seminarium. Arkiverad från originalet 2016-07-10 . Hämtad 2016-07-10 . [7] [8]
Gustafson, John L. (2016). "En radikal metod för beräkning med reella tal" (PDF) . SuperFri.org. Arkiverad (PDF) från originalet 2016-07-10 . Hämtad 2016-07-10 .
Kulisch, Ulrich W. (2015). "Uppdaterad Intervallaritmetik från slutna intervall till anslutna uppsättningar av reella tal" ( PDF) (förtryck). Institut für Angewandte und Numerische Mathematik – Karlsruhe Institute of Technology (KIT), Tyskland. ID 15/02. Arkiverad (PDF) från originalet 2016-07-12 . Hämtad 2016-07-12 .
Risse, Thomas (2016-03-10). "Unum – en ändamålsenlig förlängning av IEEE 754" (PDF) (presentation). London South Bank University (LSBU), Storbritannien: Institute of Informatics & Automation (IIA), fakulteten EEE & CS, Bremen University of Applied Sciences , Tyskland. Arkiverad (PDF) från originalet 2016-07-12 . Hämtad 2016-07-12 .
Kahan, William M. (2016-07-15). "Prof. W. Kahans kommentarer om SORN Arithmetic" (PDF) . Arkiverad (PDF) från originalet 2016-08-01 . Hämtad 2016-08-01 .
Hunhold, Laslo (2016-11-08). Unum-talformatet: matematiska grunder, implementering och jämförelse med IEEE 754 flytande tal ( PDF) (kandidatuppsats). Universität zu Köln , Mathematisches Institut. arXiv : 1701.00722v1 . Arkiverad (PDF) från originalet 2017-01-07 . Hämtad 2016-10-23 .
Sterbenz, Pat H. (1974-05-01). Flytande punktberäkning . Prentice-Hall Series in Automatic Computation (1:a upplagan). Englewood Cliffs, New Jersey, USA: Prentice Hall . ISBN 0-13-322495-3 .
Cave, Skip (2016-08-17). "J Programmeringsspråksimplementering av 3-bitars, 4-bitars, 8-bitars och 16-bitars Precision Unums" . Hämtad 2017-05-03 . (Roger Stokes nedladdningslänk: [9] )
Ingole, Deepak (2017-09-28). Embedded Implementation of Explicit Model Predictive Control (PhD-avhandling). Slovakiska tekniska universitetet i Bratislava , Slovakien.

externa länkar

"Konferens för nästa generations aritmetik (CoNGA)" . 2017. Arkiverad från originalet 2017-11-04 . Hämtad 2017-11-04 .
"SoftPosit" . 2018 . Hämtad 2018-06-13 .
"Bidrag från gemenskapens källkod" . 2018 . Hämtad 2018-06-13 .
"Anatomi av ett positnummer" . 2018-04-11 . Hämtad 2019-08-09 .