Universell representation (C*-algebra)

I teorin för C*-algebra är den universella representationen av en C*-algebra en trogen representation som är den direkta summan av de GNS-representationer som motsvarar tillstånden i C*-algebra. Den universella representationens olika egenskaper används för att få information om idealen och kvoterna för C*-algebra. Det nära förhållandet mellan en godtycklig representation av en C*-algebra och dess universella representation kan utnyttjas för att erhålla flera kriterier för att bestämma om en linjär funktional på algebra är ultrasvagt kontinuerlig. Metoden att använda egenskaperna hos den universella representationen som ett verktyg för att bevisa resultat om C*-algebra och dess representationer kallas vanligen för universella representationstekniker i litteraturen.

Formell definition och egenskaper

Definition. Låt A vara en C*-algebra med tillståndsutrymme S . Representationen

$\Phi :=\sum _{\rho \in S}\oplus \;\pi _{\rho }$

på Hilbert-utrymmet $H_{\Phi }$ är känd som den universella representationen av A .

Eftersom den universella representationen är trogen, är A *-isomorf till C*-subalgebra Φ( A ) av B(H _Φ ) .

Tillstånd av Φ( A )

Med τ ett tillstånd av A , låt π _τ beteckna motsvarande GNS-representation på Hilbertrymden H _τ . Med den notation som definieras här är τ ω _x ∘ π _τ för en lämplig enhetsvektor x (= x _τ ) i H _τ . Således är ω _y ∘ Φ, där y är enhetsvektorn Σ _{ρ∈ S} ⊕ y _ρ i H _Φ , definierad av y _τ =x, y _ρ =0(ρ≠τ). Eftersom avbildningen τ → τ ∘ Φ ⁻¹ tar tillståndsrummet för A till tillståndsrummet för Φ( A ), följer det att varje tillstånd för Φ( A ) är ett vektortillstånd .

Begränsade funktionaler av Φ( A )

Låt Φ( A ) ⁻ beteckna den svaga operatörens stängning av Φ( A ) i B(H _Φ ) . Varje avgränsad linjär funktionell ρ på Φ( A ) är svagoperatorkontinuerlig och sträcker sig unikt bevarande norm, till en svagoperator kontinuerlig linjär funktionell ρ på von Neumann-algebra Φ( A ) ⁻ . Om ρ är hermitiskt, eller positivt, gäller detsamma för ρ . Mappningen ρ → ρ är en isometrisk isomorfism från det dubbla rummet Φ( A ) ^* till predualen av Φ( A ) ⁻ . Eftersom uppsättningen av linjära funktionaler som bestämmer de svaga topologierna sammanfaller, sammanfaller den svaga operatörstopologin på Φ( A ) ⁻ med den ultrasvaga topologin. Sålunda sammanfaller den svaga operatören och den ultrasvaga topologin på Φ( A ) båda med den svaga topologin för Φ( A ) erhållen från dess normdual som ett Banach-rum.

Ideal för Φ( A )

Om K är en konvex delmängd av Φ( A ), sammanfaller den ultrasvaga stängningen av K (betecknad med K ⁻ ) med stängningarna med stark operatör, svag operatör av K i B(H _Φ ) . Normstängningen för K är Φ( A ) ∩ K ⁻ . Man kan ge en beskrivning av normstängda vänsterideal i Φ( A ) från strukturteorin om ideal för von Neumann algebra, vilket är relativt mycket enklare. Om K är ett normslutet vänsterideal i Φ( A ) finns en projektion E i Φ( A ) ⁻ sådan att

$K=\Phi (A)\cap \Phi (A)^{-}E,K^{- }=\Phi (A)^{-}E$

Om K är ett normslutet tvåsidigt ideal i Φ( A ), ligger E i mitten av Φ( A ) ⁻ .

Representationer av A

Om π är en representation av A finns det en projektion P i mitten av Φ( A ) ⁻ och en *-isomorfism α från von Neumann algebra Φ( A ) ⁻ P på π( A ) ⁻ så att π( a ) = α(Φ( a ) P ) för varje a i A . Detta kan enkelt fångas i det kommutativa diagrammet nedan:

₀ Här är ψ kartan som skickar a till aP , α betecknar begränsningen av α till Φ( A ) P , ι betecknar inklusionskartan.

₀ Eftersom α är ultrasvagt bikontinuerligt, gäller detsamma för α . Dessutom är ψ ultrasvagt kontinuerlig och är en *-isomorfism om π är en trogen representation.

Ultrasvagt kontinuerliga och singulära komponenter

Låt A vara en C*-algebra som verkar på ett Hilbertrum H . För ρ i A ^* och S i Φ( A ) ⁻ , låt S ρ i A ^* definieras av S ρ( a ) = ρ∘Φ ⁻¹ (Φ( a )S) för alla a i A . Om P är projektionen i ovanstående kommutativa diagram när π: A → B(H) är inklusionsavbildningen, så är ρ i A ^* ultrasvagt kontinuerlig om och endast om ρ = P ρ. En funktionell ρ i A ^* sägs vara singular om P ρ = 0. Varje ρ i A ^* kan uttryckas unikt i formen ρ=ρ _u +ρ _s , med ρ _u ultrasvagt kontinuerlig och ρ _s singular. Dessutom, ||ρ||=||ρ _u ||+||ρ _s || och om ρ är positivt, eller hermitiskt, gäller detsamma för ρ _u , ρ _s .

Ansökningar

Christensen–Haagerup princip

Låt f och g vara kontinuerliga, verkligt värderade funktioner på C ^4m respektive C ⁴ⁿ , σ ₁ , σ ₂ , ..., σ _m vara ultrasvagt kontinuerliga, linjära funktionaler på en von Neumann-algebra R som verkar på Hilbertrummet H , och ρ ₁ , ρ ₂ , ..., ρ _n vara gränsade linjära funktionaler på R så att, för varje a i R ,

$f(\sigma _{1}(a),\sigma _{1}(a^{*}),\sigma _{1}(aa^ {*}),\sigma _{1}(a^{*}a),\cdots ,\sigma _{m}(a),\sigma _{m}(a^{*}),\sigma _ {m}(aa^{*}),\sigma _{m}(a^{*}a))$

$\leq g(\rho _{1}(a),\rho _{1}(a^{*}),\rho _{1}(aa^{*}),\rho _{1 }(a^{*}a),\cdots ,\rho _{n}(a),\rho _{n}(a^{*}),\rho _{n}(aa^{*}) ,\rho _{n}(a^{*}a)).$

Då gäller ovanstående olikhet om varje ρ _j ersätts med sin ultrasvagt kontinuerliga komponent (ρ _{j ) u} .

•   Kadison, Richard , Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, Vol. I: Elementary Theory , American Mathematical Society. ISBN 978-0821808191 .
•   Kadison, Richard , Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, Vol. II: Advanced Theory , American Mathematical Society. ISBN 978-0821808207 .
•   Kadison, Richard V. (1993), "On an inequality of Haagerup–Pisier" , Journal of Operator Theory , 29 (1): 57–67, MR 1277964 .