Unikitetssats för Poissons ekvation

Unikitetssatsen för Poissons ekvation säger att för en stor klass av randvillkor kan ekvationen ha många lösningar, men gradienten för varje lösning är densamma . När det gäller elektrostatik betyder detta att det finns ett unikt elektriskt fält som härrör från en potentialfunktion som uppfyller Poissons ekvation under randvillkoren.

Bevis

Det allmänna uttrycket för Poissons ekvation inom elektrostatik är

$\mathbf {\nabla } ^{2}\varphi =-{\frac {\rho _{f}}{\epsilon _{0}}},$

där $\varphi$ är den elektriska potentialen och $\rho _{f}$ är laddningsfördelningen över något område $V$ med gränsyta $S$ .

Det unika med lösningen kan bevisas för en stor klass av randvillkor enligt följande.

Antag att vi hävdar att vi har två lösningar av Poissons ekvation. Låt oss kalla dessa två lösningar $\varphi _{1}$ och $\varphi _{2}$ . Sedan

$\mathbf {\nabla } ^{2}\varphi _{1}=-{\frac {\rho _{f}}{\epsilon _{0}} },$ och

$\mathbf {\nabla } ^{2}\varphi _{2}=-{\frac {\rho _{f}}{\epsilon _{0}}}.$

Det följer att $\varphi =\varphi _{2}-\varphi _{1}$ är en lösning av Laplaces ekvation , som är ett specialfall av Poissons ekvation som är lika med ${\ displaystil 0}$ . Att subtrahera de två lösningarna ovan ger

$$\mathbf {\nabla } ^{2}\varphi =\mathbf {\nabla } ^{2}\varphi _{1}-\ mathbf {\nabla } ^{2}\varphi _{2}=0.$$

 

 

 

 

()

Genom att tillämpa vektorns differentialidentitet vet vi det

$\nabla \cdot (\varphi \,\nabla \varphi )=\,(\nabla \varphi )^{2}+\varphi \,\nabla ^{2}\varphi .$

Men från ( 1 ) vet vi också att i hela regionen $\nabla ^{2}\varphi =0.$ Följaktligen går den andra termen till noll och vi finner att

$\nabla \cdot (\varphi \,\nabla \varphi )=\,(\nabla \varphi )^{2}.$

Genom att ta volymintegralen över regionen $V$ finner vi det

$\int _{V}\mathbf {\nabla } \cdot (\varphi \,\mathbf {\nabla} \varphi )\,\mathrm {d} V=\int _{V}(\mathbf { \nabla } \varphi )^{2}\,\mathrm {d} V.$

Genom att tillämpa divergenssatsen skriver vi om uttrycket ovan som

$$\int _{S}(\varphi \,\mathbf {\nabla } \varphi )\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\int _{V}(\mathbf {\nabla } \ varphi )^{2}\,\mathrm {d} V.$$

 

 

 

 

()

Vi betraktar nu sekventiellt tre distinkta randvillkor: ett Dirichlet-gränsvillkor, ett Neumann-gränsvillkor och ett blandat gränsvillkor.

Först betraktar vi fallet där Dirichlets gränsvillkor är specificerade som $\varphi =0$ på gränsen för regionen. Om Dirichlet-gränsvillkoret är uppfyllt på $S$ av båda lösningarna (dvs. om $\varphi =0$ på gränsen), så är den vänstra sidan av ( 2 ) noll. Följaktligen finner vi det

$\int _{V}(\mathbf {\nabla } \varphi )^{2}\,\mathrm {d} V=0.$

Eftersom detta är volymintegralen av en positiv storhet (på grund av den kvadratiska termen), måste vi ha $\nabla \varphi =0$ i alla punkter. Eftersom gradienten för $\varphi$ är noll överallt och $\varphi$ är noll på gränsen, måste $\varphi$ vara noll i hela regionen. Slutligen, eftersom $\varphi =0$ i hela regionen, och eftersom $\varphi =\varphi _{2}-\varphi _{1}$ genom hela regionen region, därför $\varphi _{1}=\varphi _{2}$ i hela regionen. Detta fullbordar beviset på att det finns den unika lösningen av Poissons ekvation med ett Dirichlet-gränsvillkor.

För det andra betraktar vi fallet där Neumanns gränsvillkor specificeras som $\nabla \varphi =0$ på gränsen för regionen. Om Neumann-gränsvillkoret är uppfyllt på $S$ av båda lösningarna, är den vänstra sidan av ( 2 ) noll igen. Följaktligen, liksom tidigare, finner vi det

$\int _{V}(\mathbf {\nabla } \varphi )^{2}\,\mathrm {d} V=0.$

Som tidigare, eftersom detta är volymintegralen av en positiv storhet, måste vi ha $\nabla \varphi =0$ i alla punkter. Vidare, eftersom gradienten för $\varphi$ överallt är noll inom volymen $V$ , och eftersom gradienten för $\varphi$ är noll överallt på gränsen $S$ , därför måste $\varphi$ vara konstant --- men inte nödvändigtvis noll --- i hela regionen. Slutligen, eftersom $\varphi =k$ i hela regionen, och eftersom $\varphi =\varphi _{2}-\varphi _{1}$ i hela området hela regionen, därför $\varphi _{1}=\varphi _{2}-k$ genom hela regionen. Detta fullbordar beviset på att det finns den unika lösningen upp till en additiv konstant av Poissons ekvation med ett Neumann-gränsvillkor.

Blandade randvillkor kan ges så länge som antingen gradienten eller potentialen specificeras vid varje punkt på gränsen. Gränsvillkor i oändligheten gäller också. Detta beror på att ytintegralen i ( 2 ) fortfarande försvinner på stora avstånd eftersom integranden sönderfaller snabbare än ytan växer.

Se även

• Poissons ekvation
• Gauss lag
• Coulombs lag
• Metod för bilder
• Greens funktion
• Unikitetsteorem
• Sfäriska övertoner

•   LD Landau, EM Lifshitz (1975). Den klassiska teorin om fält . Vol. 2 (4:e upplagan). Butterworth–Heinemann . ISBN 978-0-7506-2768-9 .
•   JD Jackson (1998). Klassisk elektrodynamik (3:e upplagan). John Wiley & Sons . ISBN 978-0-471-30932-1 .