Udda talsats

Udda talsatsen är en sats inom stark gravitationslinsning som kommer direkt från differentiell topologi .

Teoremet säger att antalet flera bilder som produceras av en avgränsad transparent lins måste vara udda .

Formulering

Gravitationslinsen är en tanke att kartlägga från det som kallas bildplan till källplan enligt formeln:

$M:(u,v)\mapsto (u',v')$ .

Argument

Om vi ​​använder riktningscosinus som beskriver de böjda ljusstrålarna kan vi skriva ett vektorfält på $(u,v)$ plan $V:(s,w)$ .

Men endast i vissa specifika riktningar $V_{0}:(s_{0},w_{0})$ kommer de böjda ljusstrålarna att nå observatören, dvs bilderna bildas bara där $D=\delta V=0|_{(s_{0},w_{0})}$ . Då kan vi direkt tillämpa Poincaré-Hopf-satsen $\chi =\summa {\text{index}}_{D}={\text{konstant}}$ .

Indexet för källor och sänkor är +1, och för sadelpunkter är −1. Så Euler-karakteristiken är lika med skillnaden mellan antalet positiva index $n_{+}$ och antalet negativa index $n_{-}$ . För det bortre fältet finns det bara en bild, dvs $\chi =n_{+}-n_{-}=1$ . Så det totala antalet bilder är ${\displaystyle N=n_{+}+n_{-}=2n_{-}+1} ,$ dvs udda. Det strikta beviset behöver Uhlenbecks Morse-teori om nollgeodesik .

•   Chwolson, O. (1924). "Über eine mögliche Form fiktiver Doppelsterne". Astronomische Nachrichten (på tyska). Wiley. 221 (20): 329–330. Bibcode : 1924AN....221..329C . doi : 10.1002/asna.19242212003 . ISSN 0004-6337 .
•   Burke, WL (1981). "Multipel gravitationsavbildning av distribuerade massor". The Astrophysical Journal . IOP-publicering. 244 : L1. Bibcode : 1981ApJ...244L...1B . doi : 10.1086/183466 . ISSN 0004-637X .
•   McKenzie, Ross H. (1985). "En gravitationslins producerar ett udda antal bilder". Journal of Mathematical Physics . AIP-publicering. 26 (7): 1592–1596. Bibcode : 1985JMP....26.1592M . doi : 10.1063/1.526923 . ISSN 0022-2488 .
•   Kozameh, Carlos; Lamberti, Pedro W.; Reula, Oscar (1991). "Globala aspekter av lätta konsnitt". Journal of Mathematical Physics . AIP-publicering. 32 (12): 3423–3426. Bibcode : 1991JMP....32.3423K . doi : 10.1063/1.529456 . ISSN 0022-2488 .
•   Lombardi, Marco (1998-01-20). "En tillämpning av den topologiska graden på gravitationslinser". Modern fysik Bokstäver A . World Scientific Pub Co Pte Lt. 13 (2): 83–86. Bibcode : 1998MPLA...13...83L . doi : 10.1142/s0217732398000115 . ISSN 0217-7323 .
•    Wambsganss, Joachim (1998). "Gravitationsobjektiv i astronomi" . Levande recensioner i relativitetsteori . 1 (1): 12. arXiv : astro-ph/9812021 . Bibcode : 1998LRR.....1...12W . doi : 10.12942/lrr-1998-12 . PMC 5567250 . PMID 28937183 .
•   Schneider, P.; Ehlers, J.; Falco, EE (1999). Gravitationslinser" . Astronomy and Astrophysics Library. Springer. ISBN 9783540665069 .
•   Giannoni, Fabio; Lombardi, Marco (1999). "Gravitationslinser: udda eller jämna bilder?". Klassisk och kvantgravitation . 16 (6): 1689–1694. Bibcode : 1999CQGra..16.1689G . doi : 10.1088/0264-9381/16/6/303 . S2CID 250827307 .
•    Frittelli, Simonetta; Newman, Ezra T. (1999-04-28). "Exakt universell gravitationslinsningsekvation". Fysisk granskning D . 59 (12): 124001. arXiv : gr-qc/9810017 . Bibcode : 1999PhRvD..59l4001F . doi : 10.1103/physrevd.59.124001 . ISSN 0556-2821 . S2CID 248125 .
•   Perlick, Volker (1999). "Gravitationsobjektiv från en geometrisk synvinkel". Einsteins fältekvationer och deras fysiska konsekvenser . Föreläsningsanteckningar i fysik. Vol. 540. s. 373–425. doi : 10.1007/3-540-46580-4_6 . ISBN 978-3-540-67073-5 .
• Perlick, Volker (2010). "Gravitationsobjektiv från ett rumtidsperspektiv". arXiv : 1010.3416 . {{ citera journal }} : Citera journal kräver |journal= ( hjälp )
• Perlick V., Gravitationslinsning från en geometrisk synvinkel, i B. Schmidt (red.) "Einsteins fältekvationer och deras fysiska tolkningar" Selected Essays in Honor of Jürgen Ehlers, Springer, Heidelberg (2000) s. 373–425