Trunkeringsfel

För annan användning, se Trunkeringsfel (numerisk integration) .

I numerisk analys och vetenskaplig beräkning är trunkeringsfel ett fel som orsakas av approximering av en matematisk process.

Exempel

Oändlig serie

En summeringsserie för $e^{x}$ ges av en oändlig serie som t.ex.

$$e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac { x^{4}}{4!}}+\cdots$$

I verkligheten kan vi bara använda ett ändligt antal av dessa termer eftersom det skulle ta oändlig mängd beräkningstid att använda dem alla. Så låt oss anta att vi bara använder tre termer i serien, då

$$e^{x}\approx 1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}$$

I detta fall är trunkeringsfelet ${\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots$

Exempel A:

Med tanke på följande oändliga serier, hitta trunkeringsfelet för x = 0,75 om bara de tre första termerna i serien används.

$$S=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots ,\qquad \left|x\right|<1.$$

Lösning

Att endast använda de tre första termerna i serien ger

$${\begin{aligned}S_{3}&=\left(1+x+x^{ 2}\right)_{x=0.75}\\&=1+0.75+\left(0.75\right)^{2}\\&=2.3125\end{aligned}}$$

Summan av en oändlig geometrisk serie

$$S=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots ,\ r<1$$

ges av

$$S={\frac {a}{1-r}}$$

För vår serie, a = 1 och r = 0,75 , att ge

$$S={\frac {1}{1-0,75}}=4$$

Trunkeringsfelet är alltså

$$\mathrm {TE} =4-2,3125=1,6875$$

Differentiering

Definitionen av den exakta förstaderivatan av funktionen ges av

$$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)- f(x)}{h}}$$

Men om vi beräknar derivatan numeriskt måste ${\displaystyle h} vara ändlig.$ Felet som orsakas av att välja $h$ att vara finit är ett trunkeringsfel i den matematiska differentieringsprocessen.

Exempel A:

Hitta trunkeringen vid beräkning av förstaderivatan av $f(x)=5x^{3}$ vid $x=7$ med hjälp av stegstorleken $h=0,25$

Lösning:

Den första derivatan av $f(x)=5x^{3}$ är

$$f'(x)=15x^{2},$$

och vid $x=7$ ,

$$f'(7)=735.$$

Det ungefärliga värdet ges av

$$f'(7)={\frac {f(7+0,25)-f(7)}{0,25}}= 761.5625$$

Trunkeringsfelet är alltså

$$\mathrm {TE} =735-761,5625=-26,5625$$

Integration

Definitionen av den exakta integralen av en funktion $f(x)$ från $a$ till $b$ ges enligt följande.

Låt $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ vara en funktion definierad på ett slutet intervall $[a,b]$ av de reella talen, $\mathbb {R}$ , och

$$P=\left\{[x_{0},x_{1} ],[x_{1},x_{2}],\dots ,[x_{n-1},x_{n}]\right\},$$

vara en partition av I , där

$$a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{n}=b.$$

$$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\summa _{i =1}^{n}f(x_{i}^{*})\,\Delta x_{i}$$

där $\Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}$ och ${\ displaystil x_{i}^{*}\in [x_{i-1},x_{i}]}$ .

Detta innebär att vi hittar arean under kurvan med hjälp av oändliga rektanglar. Men om vi beräknar integralen numeriskt kan vi bara använda ett ändligt antal rektanglar. Felet som orsakas av att välja ett ändligt antal rektanglar i motsats till ett oändligt antal av dem är ett trunkeringsfel i den matematiska integrationsprocessen.

Exempel A.

För integralen

$$\int _{3}^{9}x^{2}{dx}$$

hitta trunkeringsfelet om en tvåsegments vänster Riemanns summa används med samma bredd på segmenten.

Lösning

Vi har det exakta värdet som

$${\begin{aligned}\int _{3}^{9}{x^{2 }{dx}}&=\vänster[{\frac {x^{3}}{3}}\höger]_{3}^{9}\\&=\vänster[{\frac {9^{3 }-3^{3}}{3}}\right]\\&=234\end{aligned}}$$

Använd två rektanglar med lika bredd för att approximera arean (se figur 2) under kurvan, det ungefärliga värdet av integralen

$${\begin{aligned}\int _{3}^{9}x^{2} \,dx&\approx \left.\left(x^{2}\right)\right|_{x=3}(6-3)+\left.\left(x^{2}\right)\right |_{x=6}(9-6)\\&=(3^{2})3+(6^{2})3\\&=27+108\\&=135\end{aligned} }$$

$${\begin{aligned}{\text{Truncation Error}}&={\text{Exakt värde}}-{\text{Ungefärligt värde} }\\&=234-135\\&=99.\end{aligned}}$$

Ibland, av misstag, kallas avrundningsfel (konsekvensen av att använda finita precisions flyttalstal på datorer), även trunkeringsfel, speciellt om talet avrundas genom hackning. Det är inte korrekt användning av "trunkeringsfel"; Men det kan vara acceptabelt att kalla det för att trunkera ett nummer.

Tillägg

Trunkeringsfel kan orsaka $(A+B)+C\neq A+(B+C)$ i en dator när $A=-10^{25},B=10^{25},C=1$ eftersom $(A +B)+C=(0)+C=1$ (som det borde), medan $A+(B+C)=A+(B)= 0$ . Här $A+(B+C)$ ett trunkeringsfel lika med 1. Detta trunkeringsfel uppstår eftersom datorer inte lagrar de minst signifikanta siffrorna i ett extremt stort heltal.

Se även

• Kvantiseringsfel

•   Atkinson, Kendall E. (1989), An Introduction to Numerical Analysis (2:a upplagan), New York: John Wiley & Sons , sid. 20, ISBN 978-0-471-50023-0
•   Stoer, Josef; Bulirsch, Roland (2002), Introduction to Numerical Analysis (3:e upplagan), Berlin, New York: Springer-Verlag , sid. 1, ISBN 978-0-387-95452-3 .