Trigonometriskt momentproblem

₀ I matematik formuleras det trigonometriska momentproblemet enligt följande: givet en ändlig sekvens { α , ... α _n }, finns det ett positivt Borelmått μ på intervallet [0, 2 π ] så att

$\alpha _{k}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{-ikt}\,d\mu (t).$

₀ Med andra ord betyder ett jakande svar på problemen att { α , ... α _n } är de första n + 1 Fourierkoefficienterna för något positivt Borelmått μ på [0, 2 π ].

Karakterisering

Det trigonometriska momentproblemet är lösbart, det vill säga { α _k } är en sekvens av Fourierkoefficienter, om och endast om ( n + 1) × ( n + 1) Toeplitz-matrisen

$A=\left({\begin _matrix}\alpha {0}&\alpha _{1}&\cdots &\alpha _{n}\\{\bar {\alpha _{1}}}&\alpha _{0}&\cdots &\alpha _{n -1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\bar {\alpha _{n}}}&{\bar {\alpha _{n-1}}}&\cdots &\ alfa _{0}\\\end{matris}}\right)$

är positiv halvdefinitiv .

"Endast om"-delen av påståendena kan verifieras genom en direkt beräkning.

Vi skisserar ett argument för det motsatta. Den positiva semidefinita matrisen A definierar en sesquilinjär produkt på Cn ^{+ 1 ,} vilket resulterar i ett Hilbert-utrymme

$({\mathcal {H}},\langle \;,\;\rangle )$

₀₀ dimensionellt högst n + 1, vars typiska element är en ekvivalensklass betecknad med [ f ]. Toeplitz-strukturen för A betyder att ett "stympat" skift är en partiell isometri på ${\mathcal {H}}$ . Mer specifikt, låt { e , ... e _n } vara standardbasen för C ^{n + 1} . Låt ${\mathcal {E}}$ vara delutrymmet som genereras av { [ e ], ... [ e _{n - 1} ] } och ${\mathcal {F}}$ vara delutrymmet som genereras av { [ e ₁ ], ... [ e _n ] }. Definiera en operatör

$V:{\mathcal {E}}\rightarrow {\mathcal {F}}$

förbi

$V[e_{k}]=[e_{k+1}]\quad {\mbox{for}}\quad k=0\ldots n-1.$

Eftersom

$\langle V[e_{j}],V[e_{k}]\rangle =\langle [e_{j+1}],[e_{k+1}]\rangle =A_{j+1,k+1}=A_{j,k}=\langle [e_{j}],[e_{k}]\rangle ,$

V kan utökas till en partiell isometri som verkar på alla ${\mathcal {H}}$ . Ta en minimal enhetlig förlängning U av V , på ett eventuellt större utrymme (detta finns alltid). Enligt spektralsatsen finns det ett Borelmått m på enhetscirkeln T så att för alla heltal k

$\langle (U^{*})^{k}[e_{n+1}],[e_{n+1}]\rangle =\int _{\mathbf {T} }z^{k }dm.$

För k = 0,..., n är den vänstra sidan

$\langle (U^{*})^{k}[e_{n+1}],[e_{n+1}]\rangle =\langle (V^{*})^{k}[ e_{n+1}],[e_{n+1}]\rangle =\langle [e_{n+1-k}],[e_{n+1}]\rangle =A_{n+1,n +1-k}={\bar {\alpha _{k}}}.$

Så

$\int _{\mathbf {T} }z^{-k}dm=\int _{\mathbf {T} }{\bar {z}}^{k}dm=\alpha _{k} .$

Parametrisera slutligen enhetscirkeln T genom att e ^it på [0, 2 π ] ger

${\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{- ikt}d\mu (t)=\alpha _{k}$

för något lämpligt mått μ .

Parametrisering av lösningar

Ovanstående diskussion visar att det trigonometriska momentproblemet har oändligt många lösningar om Toeplitz-matrisen A är inverterbar. I så fall är lösningarna på problemet i bijektiv överensstämmelse med minimala enhetliga förlängningar av den partiella isometrin V .

• NI Akhiezer, The Classical Moment Problem , Olivier och Boyd, 1965.
• NI Akhiezer, MG Krein, Some Questions in the Theory of Moments , Amer. Matematik. Soc., 1962.