Trappa paradox
I matematisk analys är trappparadoxen ett patologiskt exempel som visar att kurvornas gränser inte nödvändigtvis bevarar deras längd . Den består av en sekvens av "trappa" polygonala kedjor i en enhetskvadrat , bildade av horisontella och vertikala linjesegment av minskande längd, så att dessa trappor konvergerar likformigt till kvadratens diagonal. Varje trappa har dock längd två, medan längden på diagonalen är kvadratroten av 2 , så sekvensen av trapplängderna konvergerar inte till längden på diagonalen. Martin Gardner kallar detta "en uråldrig geometrisk paradox". Den visar att för kurvor under enhetlig konvergens är längden på en kurva inte en kontinuerlig funktion av kurvan.
För alla jämna kurvor konvergerar polygonala kedjor med segmentlängder som minskar till noll, som förbinder på varandra följande hörn längs kurvan, alltid till båglängden . Trappkurvornas misslyckande att konvergera till rätt längd kan förklaras av det faktum att några av deras hörn inte ligger på diagonalen. I högre dimensioner Schwarz-lyktan ett analogt exempel som visar att polyedriska ytor som konvergerar punktvis till en krökt yta inte nödvändigtvis konvergerar till dess område, även när alla hörn ligger på ytan.
Förutom att belysa behovet av noggranna definitioner av båglängd i matematikundervisning, har paradoxen tillämpningar inom digital geometri , där den motiverar metoder för att uppskatta omkretsen av pixelerade former som inte bara summerar längden på gränserna mellan pixlar.
Se även
- Aliasing , ett mer allmänt fenomen med felaktigheter orsakade av pixelering
- Kantortrappa , en fraktalkurva längs diagonalen av en enhetsruta
- Taxibilsgeometri , där längderna på trappan och diagonalen är lika