Tisserands kriterium

Tisserands kriterium används för att avgöra om en observerad kretsande kropp, såsom en komet eller en asteroid , är densamma som en tidigare observerad kretsande kropp.

Medan alla omloppsparametrar för ett objekt som kretsar runt solen under det nära mötet med en annan massiv kropp (t.ex. Jupiter) kan ändras dramatiskt, är värdet på en funktion av dessa parametrar, som kallas Tisserands relation (på grund av Félix Tisserand ) ungefär bevarat , gör det möjligt att känna igen omloppsbanan efter mötet.

Definition

Tisserands kriterium beräknas i ett cirkulärt begränsat trekroppssystem. I ett cirkulärt begränsat trekroppssystem antas en av massorna vara mycket mindre än de andra två. De andra två massorna antas vara i en cirkulär bana om systemets masscentrum. Dessutom bygger Tisserands kriterium också på antagandena att a) en av de två större massorna är mycket mindre än den andra stora massan och b) kometen eller asteroiden inte har haft en nära inställning till någon annan stor massa.

Två observerade kretsande kroppar är möjligen desamma om de uppfyller eller nästan uppfyller Tisserands kriterium:

{\frac {1}{2a_{1 }}}+{\sqrt {a_{1}(1-e_{1}^{2})}}\cos i_{1}={\frac {1}{2a_{2}}}+{\sqrt {a_{2}(1-e_{2}^{2})}}\cos i_{2}

där a är semimajoraxeln , e är excentriciteten och i är lutningen av kroppens omloppsbana.

Med andra ord, om en funktion av orbitalelementen (som kallas Tisserands parameter ) i den första observerade kroppen (nästan) är lika med samma funktion beräknad med orbitalelementen i den andra observerade kroppen, kan de två kropparna vara desamma.

Tisserands släktskap

Relationen definierar en funktion av orbitala parametrar, bevarade ungefär när den tredje kroppen är långt från den andra (störande) massan.

{\frac {1}{2a}}+{\sqrt {a(1-e^{2})}} \cos i\approx {\rm {const}}

Relationen härleds från att Jacobi-konstanten väljer ett lämpligt enhetssystem och använder några approximationer. Traditionellt väljs enheterna för att göra μ ₁ och det (konstanta) avståndet från μ ₂ till μ ₁ till en enhet, vilket resulterar i att medelrörelsen n också är en enhet i detta system.

Dessutom, givet den mycket stora massan av μ ₁ jämfört med μ ₂ och μ ₃

G(\mu _{1}+\mu _{2})\approx 1\approx G(\mu _{1 }+\mu _{3})

Dessa villkor är uppfyllda till exempel för Sol-Jupiter-systemet med en komet eller en rymdfarkost som den tredje massan.

Jacobi-konstanten, en funktion av koordinaterna ξ, η, ζ, (avstånd r ₁ , r ₂ från de två massorna) och hastigheterna förblir rörelsekonstanten genom mötet.

{\}visningsstil C_{ 2\cdot ({\frac {\mu _{1}}{r_{1}}}+{\frac {\mu _{2}}{r_{2}}})+2n(\xi {\dot {\eta }}-\eta {\dot {\xi }})-({\dot {\xi }}^{2}+{\dot {\eta }}^{2}+{\dot {\ zeta }}^{2})}

Målet är att uttrycka konstanten med hjälp av orbitalparametrar.

testpartikeln (komet, rymdfarkost) långt från massan μ _{2 befinner sig i en bana runt} μ ₁ som härrör från tvåkroppslösning. För det första är den sista termen i konstanten hastigheten, så den kan uttryckas, tillräckligt långt från den störande massan μ ₂ , som en funktion av enbart avståndet och halvstoraxeln med hjälp av vis-viva-ekvationen

({\dot {\xi }}^{2}+{\dot {\eta }} ^{2}+{\dot {\zeta }}^{2})=v^{2}=\mu \left({{2 \over {r}}-{1 \over {a}}}\ höger)

För det andra, observera att $\zeta$ -komponenten av rörelsemängden (per massenhet) $\mathbf {h} =\mathbf {r} \times \mathbf {\dot { r}}$ är

\xi {\dot {\eta }}-\eta {\dot {\xi }}=h\cos I

där $I\,\!$ är den inbördes lutningen för banorna för μ ₃ och μ ₂ , och $h=|\mathbf {h} |={\sqrt {a(1-e^{2})}}$ .

Ersätter dessa med Jacobi-konstanten C _J , ignorerar termen med μ ₂ <<1 och ersätter r ₁ med r (given mycket stor μ ₁ barycentrum av systemet μ ₁ , μ ₃ är mycket nära positionen för μ ₁ ) ger

{\frac {1}{2a}}+{\sqrt {a(1-e^{2})}} \cos i\approx {\rm {const}}

Se även

^ ^a ^b Roy, John AE (31 december 2004). Orbital Motion (4:e upplagan). CRC Tryck. sid. 121. ISBN 9781420056884 .
^ ^a ^b Gurzadyan, Grigor A. (21 oktober 1996). Teori om interplanetära flygningar . CRC Tryck. sid. 192. ISBN 9782919875153 .
^ ^a ^b Danby, John MA (1992). Fundamentals of Celestial Mechanics (2nd ed.). Willman-Bell Inc. s. 253–254. ISBN 9780943396200 .

[Roy-1] Roy, John AE (31 december 2004). Orbital Motion (4:e upplagan). CRC Tryck. sid. 121. ISBN 9781420056884 .

[Gurzadyan-2] Gurzadyan, Grigor A. (21 oktober 1996). Teori om interplanetära flygningar . CRC Tryck. sid. 192. ISBN 9782919875153 .

[Danby-3] Danby, John MA (1992). Fundamentals of Celestial Mechanics (2nd ed.). Willman-Bell Inc. s. 253–254. ISBN 9780943396200 .